大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$F$ は下に凸で頂点が原点 $O$ なので $$F:y=\alpha x^2(\alpha >0)$$ とおける。また $G$ は上に凸で、頂点を $A=(p,q)$ とすると $$G:y=q-\beta (x-p{)}^2(\beta >0)$$ とおける。$A\mathrm{\ne }O$ である。 $P$ を $G$ 上の点とし、$P$ の $x$ 座標を $p+z$ とおく。$P=A$ の場合は直線 $AP$ が定まらず、また問題では $P$ は直線 $OA$ 上にないから、考える点では $z\mathrm{\ne }0$ である。このとき $P=(p+z,q-\beta z^2)$ である。

直線 $AP$ の方向は $$\overrightarrow{AP}=(z,-\beta z^2)=z(1,-\beta z)$$ である。したがって、原点を通り $AP$ に平行な直線は $y=-\beta zx$ である。これと $F:y=\alpha x^2$ との交点は $\alpha x^2=-\beta zx$ より $x(\alpha x+\beta z)=0$ である。原点以外の交点 $Q$ は $$Q=(-\frac{\beta z}{\alpha },\frac{{\beta }^2{z}^2}{\alpha })$$ である。

ここで直線 $OA$ 上の点$$R_0=\frac{\beta }{\alpha +\beta }A=(\frac{\beta p}{\alpha +\beta },\frac{\beta q}{\alpha +\beta })$$を考える。すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P+\frac{\alpha }{\alpha +\beta }(Q-P)}& {\displaystyle =\frac{\beta }{\alpha +\beta }P+\frac{\alpha }{\alpha +\beta }Q}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{\beta (p+z)-\beta z}{\alpha +\beta },\frac{\beta (q-\beta z^2)+{\beta }^2{z}^2}{\alpha +\beta })}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{\beta p}{\alpha +\beta },\frac{\beta q}{\alpha +\beta })=R_0}\end{array}$$である。よって $R_0$ は直線 $PQ$ 上にある。一方、$R_0$ は $A$ の定数倍で表されているから直線 $OA$ 上にもある。

問題の仮定より $P$ は直線 $OA$ 上にないので、直線 $PQ$ が直線 $OA$ そのものになることはない。したがって直線 $PQ$ と直線 $OA$ の交点 $R$ は一意であり、$$R=R_0=\frac{\beta }{\alpha +\beta }A$$ である。 $$0<\frac{\beta }{\alpha +\beta }<1$$ だから $R$ は線分 $OA$ 上にあり、$$OR=\frac{\beta }{\alpha +\beta }OA,AR=(1-\frac{\beta }{\alpha +\beta })OA=\frac{\alpha }{\alpha +\beta }OA$$である。ゆえに $$\frac{AR}{OR}=\frac{\alpha }{\beta }$$ となる。右辺は2つの放物線 $F,G$ だけで決まり、点 $P$ の取り方に関係しない。したがって $\frac{AR}{OR}$ は一定である。