大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

2曲線 $y=f(x)$ と $y=f(x+t)$ が共有点をもつことは、ある実数 $x$ について $f(x)=f(x+t)$ が成り立つことと同値である。ここで $t\mathrm{\ne }0$ として差を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x+t)-f(x)}& {\displaystyle =(x+t{)}^3-x^3+a\{(x+t{)}^2-x^2\}+bt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =t\{3x^2+3tx+t^2+a(2x+t)+b\}}\end{array}$$である。したがって共有点をもたないためには、すべての $t\mathrm{\ne }0$ に対して $$3x^2+(3t+2a)x+t^2+at+b=0$$ が実数解をもたなければならない。

この2次方程式の判別式を $D(t)$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle D(t)}& {\displaystyle =(3t+2a{)}^2-12(t^2+at+b)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9t^2+12at+4a^2-12t^2-12at-12b}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4a^2-12b-3t^2}\end{array}$$である。よって、すべての $t\mathrm{\ne }0$ で実数解をもたないための条件は $$4a^2-12b-3t^2<0(t\mathrm{\ne }0)$$ である。

まず $4a^2-12b\leqq 0$ ならば、任意の $t\mathrm{\ne }0$ について $D(t)\leqq -3t^2<0$ となるので共有点は存在しない。逆に $4a^2-12b>0$ なら、十分小さい $t\mathrm{\ne }0$ を取れば $3t^2<4a^2-12b$ となり、$D(t)>0$ である。このとき2次方程式は実数解をもち、共有点が生じる。

したがって必要十分条件は $4a^2-12b\leqq 0$ すなわち $${\displaystyle b\geqq \frac{a^2}{3}}$$ である。定数項 $c$ は差 $f(x+t)-f(x)$ で消えるので、$c$ には制限はない。

別解。微分による見方もできる。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+2ax+b$ であり、この2次式がすべての実数 $x$ で0以上である条件は $(2a{)}^2-12b\leqq 0$ すなわち $$b\geqq \frac{a^2}{3}$$ である。このとき $f$ は単調に増加し、等号の場合も $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3{(x+\frac{a}{3})}^2$$ となって一点を除いて増加しているので、異なる2点で同じ値を取らない。したがって $t\mathrm{\ne }0$ なら $f(x+t)\mathrm{\ne }f(x)$ である。

一方、$$b<\frac{a^2}{3}$$ なら $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は異なる2つの実数解をもち、$f$ は極大・極小をもつ。その2つの値の間の水平線は曲線と少なくとも2点で交わるので、異なる $x_1,x_2$ について $f(x_1)=f(x_2)$ となる。$t=x_2-x_1\mathrm{\ne }0$ とすれば共有点が生じる。よって同じ条件が得られる。