大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
2次式を $$h(x)=u{x}^2+vx+w(u\mathrm{\ne }0)$$ とおく。平方完成すると $$h(x)=u{(x+\frac{v}{2u})}^2+w-\frac{v^2}{4u}$$ である。したがって、直線 $$x=-\frac{v}{2u}$$ に関して対称な2点では、$h(x)$ の値が等しい。よって $f(x)=g(h(x))$ の値も等しくなる。したがって $y=f(x)$ のグラフは、直線 $$x=-\frac{v}{2u}$$ に関して対称である。特にこの直線が $y$ 軸である場合も含まれる。

(2)
グラフの対称軸を $x=p$ とする。ここで $F(t)=f(p+t)$ とおくと、対称性より任意の $t$ について $F(t)=F(-t)$ である。$F(t)$ は整式なので $$F(t)=c_0+c_{1}t+c_2{t}^2+\cdots +c_m{t}^m$$ と書ける。この式で $t$ を $-t$ に替えて比較すると、奇数次の係数はすべて $0$ でなければならない。したがって $$F(t)=c_0+c_2{t}^2+c_4{t}^4+\cdots$$ である。

そこで整式 $g$ を $$g(X)=c_0+c_{2}X+c_4{X}^2+\cdots$$ と定めれば $F(t)=g(t^2)$ となる。$t=x-p$ を戻すと $f(x)=g((x-p{)}^2)$ である。したがって $h(x)=(x-p{)}^2$ とすれば、$h$ は2次式であり、$f(x)=g(h(x))$ と表せる。