大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

与えられた1次変換の行列を$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$とする。

直線 $l$ 上に異なる2点 $P,Q$ を取る。$P,Q$ の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{p},\vec{q}$ とすれば、$\vec{v}=\vec{q}-\vec{p}$ は $l$ の方向ベクトルであり、$\vec{v}\mathrm{\ne }\vec{0}$ である。

条件より、$P$ が移った点も $Q$ が移った点も同じ直線 $l$ 上にある。したがって、移った後の差 $$A\vec{q}-A\vec{p}=A(\vec{q}-\vec{p})=A\vec{v}$$ は、直線 $l$ の方向に平行である。よって、ある実数 $\lambda$ が存在して $A\vec{v}=\lambda \vec{v}$ と書ける。もし $A\vec{v}=\vec{0}$ であっても、これは $\lambda =0$ とすれば含まれる。

ここで$$\vec{v}=\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)((r,s)\mathrm{\ne }(0,0))$$とおく。上の式は$$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)$$であるから$$\left(\begin{array}{cc}\lambda -a& -b\\ -c& \lambda -d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}r\\ s\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$となる。 $(r,s)\mathrm{\ne }(0,0)$ であるから、この連立方程式が0でない解をもつためには$$\det \left(\begin{array}{cc}\lambda -a& -b\\ -c& \lambda -d\end{array}\right)=0$$でなければならない。左辺を展開すると $$(\lambda -a)(\lambda -d)-bc={\lambda }^2-(a+d)\lambda +ad-bc$$ である。

したがって実数 $\lambda$ が $${\lambda }^2-(a+d)\lambda +ad-bc=0$$ を満たす。ゆえに、2次方程式 $x^2-(a+d)x+ad-bc=0$ は実数解をもつ。

差ベクトルを見る理由を図にすると次の通りである。点そのものの位置ではなく、同じ直線上の2点の差だけが直線の方向を表す。

不変な直線の方向を、非鉛直なら $(1,m)$、鉛直なら $(0,1)$ と表す。移された方向が元の方向と平行になる条件から、問題の2次方程式の実数解を直接作る。

直線 $l$ の方向を考える。

まず $l$ が鉛直でないとする。その方向ベクトルを$$\left(\begin{array}{c}1\\ m\end{array}\right)$$と書ける。直線 $l$ が同じ直線に移るので、方向ベクトルの像$$\left(\begin{array}{c}a+bm\\ c+dm\end{array}\right)$$は $(1,m)$ に平行である。したがって、ある実数 $\lambda$ に対して$$a+bm=\lambda ,c+dm=m\lambda$$が成り立つ。

この実数 $\lambda$ について$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\lambda }^2-(a+d)\lambda +ad-bc}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\lambda -a)(\lambda -d)-bc}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =bm(a+bm-d)-bc}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =b\{b{m}^2+(a-d)m-c\}=0}\end{array}$$である。最後の等号には $c+dm=m(a+bm)$ を用いた。よって $\lambda$ は問題の2次方程式の実数解である。

次に $l$ が鉛直なら、方向ベクトルは $(0,1)$ である。その像 $(b,d)$ も鉛直だから $b=0$ である。このとき$$x^2-(a+d)x+ad=(x-a)(x-d)$$となり、実数解 $a,d$ をもつ。

以上より、どちらの場合にも与えられた2次方程式は実数解をもつ。