大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

$s=x+y$ とおく。$x\geqq 0,y\geqq 0$ だから $s\geqq 0$ であり、$$s^3=(x+y{)}^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=1+3xys\geqq 1$$ である。したがって $s\geqq 1$ を得る。等号は $xy=0$ のときであり、条件 $x^3+y^3=1$ と合わせると $(x,y)=(1,0),(0,1)$ で実現する。

次に上限を求める。相加相乗平均より $$xy\leqq {\left(\frac{x+y}{2}\right)}^2=\frac{s^2}{4}$$ である。$x^3+y^3=s^3-3xys$ だから $$1=s^3-3xys\geqq s^3-3\cdot \frac{s^2}{4}\cdot s=\frac{s^3}{4}\mathrm{.}$$ よって $$s^3\leqq 4,s\leqq \sqrt[3]{4}$$ である。等号は $x=y$ のときに成り立つ。このとき $2x^3=1$ から $$x=y=\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$$ であり、実際に $$x+y=2\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{4}$$ となる。

以上より、$x+y$ がとりうる値の範囲は $$1\leqq x+y\leqq \sqrt[3]{4}$$ である。

$t=x^3$ と置いて一変数関数にし、増減を調べて値域とそれを実現する点を求める。

$t=x^3$ と置くと $0\leqq t\leqq 1$ であり、$$x+y=\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{1-t}=F(t)$$となる。端点では $F(0)=F(1)=1$ である。$0<t<1$ では$$F^{\mathrm{\prime }}(t)=\frac{1}{3t^{2\mathrm{/}3}}-\frac{1}{3(1-t{)}^{2\mathrm{/}3}}\mathrm{.}$$したがって $F$ は $0<t<1\mathrm{/}2$ で増加し、$1\mathrm{/}2<t<1$ で減少する。
最大値は$$F\left(\frac{1}{2}\right)=2\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{4},$$最小値は端点での1である。連続性より途中の値もすべてとるから、$$1\leqq x+y\leqq \sqrt[3]{4}\mathrm{.}$$