大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $g(x)=x^3+5x^2+3x$ とおくと $f(x)=g(x)+c$ である。導関数は $$g^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2+10x+3=(3x+1)(x+3)$$ だから、$g(x)+c$ は $x=-3$ で極大、$x=-1\mathrm{/}3$ で極小をとる。

それぞれの値は $f(-3)=9+c,$ $$f(-{\displaystyle \frac{1}{3}})=c-{\displaystyle \frac{13}{27}}$$ である。三次方程式 $f(x)=0$ が3個の相異なる実数解をもつためには、極大値が正、極小値が負であればよい。したがって $$9+c>0,c-{\displaystyle \frac{13}{27}}<0$$ より $$-9<c<{\displaystyle \frac{13}{27}}$$ である。

(2)
まず、3個の相異なる整数解を $p,q,r$ と仮定する。解と係数の関係より $$p+q+r=-5,pq+qr+rp=3$$ である。したがって $$p^2+q^2+r^2=(p+q+r{)}^2-2(pq+qr+rp)=25-6=19$$ となる。

平方数の和が $19$ になる整数の組を考えると、絶対値の組は $3,3,1$ または $4,1,1$ に限られる。このうち和が $-5$ になるのは $-3,-3,1$ だけである。これは3個が相異なる整数ではない。よって $\text{3個の相異なる整数解をもつことはない}$ である。

次に、2個の相異なる整数を解にもつ場合を考える。係数が整数で最高次係数が $1$ なので、2個の整数解をもてば、残りの1解も解と係数の関係から整数である。上の候補より、整数解の組は $-3,-3,1$ でなければならない。

このとき $$f(x)=(x+3{)}^2(x-1)=x^3+5x^2+3x-9$$ である。したがって $c=-9$ のときに限り、相異なる2個の整数解 $-3,1$ をもつ。

水平線 $y=-c$ が極大値と極小値の間にあれば、交点は3個

実数解の個数は極値で判定する。整数解については、相異なる2整数根を
$u,v$、その和を $s$ とおき、第3根と解と係数の関係を用いて
$u,v$ の二次方程式を作る。その判別式が平方数になる整数 $s$ を
全て調べる。

(1)
$g(x)=x^3+5x^2+3x$ とすると$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=(3x+1)(x+3)\mathrm{.}$$極大値は $g(-3)=9$、極小値は
$g(-1\mathrm{/}3)=-13\mathrm{/}27$ である。水平線 $y=-c$ がこの2値の
間にあることが必要十分だから$$-9<c<{\displaystyle \frac{13}{27}}\mathrm{.}$$(2)
2個の整数根を $u,v$ とし、$s=u+v$ とおく。第3根は
$w=-5-s$ である。また$$uv+w(u+v)=3$$より$$uv=s^2+5s+3.$$したがって $u,v$ は$$X^2-sX+s^2+5s+3=0$$の整数解であり、その判別式$$\mathrm{\Delta }=-3s^2-20s-12$$は0以上の平方数でなければならない。$\mathrm{\Delta }\geqq 0$ から
$-6\leqq s\leqq -1$ である。この6整数を調べると
$\mathrm{\Delta }$ が平方数になるのは$$s=-6(\mathrm{\Delta }=0),s=-2(\mathrm{\Delta }=16)$$だけで、どちらも根の組全体は$$-3,-3,1$$となる。よって相異なる3整数根は存在しない。
相異なる2整数根をもつのは$$f(x)=(x+3{)}^2(x-1)$$の場合、すなわち $c=-9$ のときに限る。