大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
定義式の中の和を先に計算する。よく知られた和の公式$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$$を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle a_n}& {\displaystyle =\frac{1}{n}(p\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2q\frac{n(n+1)}{2}+rn)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{p(n+1)(2n+1)}{6}+q(n+1)+r\mathrm{.}}\end{array}$$これを $n$ について整理すれば$$a_n=\frac{p}{3}{n}^2+(\frac{p}{2}+q)n+(\frac{p}{6}+q+r)$$である。したがって、$m\mathrm{\ne }n$ のとき定数項は差で消え、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{a_m-a_n}{m-n}}& {\displaystyle =\frac{p}{3}\frac{m^2-n^2}{m-n}+(\frac{p}{2}+q)\frac{m-n}{m-n}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{p}{3}(m+n)+\frac{p}{2}+q=\frac{(2m+2n+3)p}{6}+q\mathrm{.}}\end{array}$$よって求める値は $\frac{p}{3}(m+n)+\frac{p}{2}+q$ である。

(2)
(1)の結果に $m=1,n=3$ を代入する。この2つは相異なる正の整数なので、仮定により $$\frac{a_1-a_3}{1-3}=\frac{p}{3}(1+3)+\frac{p}{2}+q=\frac{11p}{6}+q$$ は整数である。ここで $q$ は整数だから、$\frac{11p}{6}$ も整数でなければならない。すなわち $6\mid 11p$ である。$6$ と $11$ は互いに素なので、ユークリッドの互除法、または素因数分解より $6\mid p$ が従う。よって $p$ は6で割り切れる。

差商までは同様に求めるが、二つの差商の差から3の倍数条件を、別の1組から偶数条件を取り出す。

(1)
和の公式から$$a_n=\frac{p}{3}{n}^2+(\frac{p}{2}+q)n+(\frac{p}{6}+q+r)$$である。したがって$$\frac{a_m-a_n}{m-n}=\frac{p}{3}(m+n)+\frac{p}{2}+q\mathrm{.}$$(2)
この整数を $D(m,n)$ と書く。仮定より $D(1,2)$ と $D(1,3)$ は整数なので$$D(1,3)-D(1,2)=\frac{p}{3}$$も整数であり、$3\mid p$ である。また$$D(1,2)=\frac{3p}{2}+q$$は整数で、$q$ も整数だから $3p\mathrm{/}2$ は整数である。よって $2\mid p$ である。
2と3は互いに素なので $6\mid p$ となる。