大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問

関数 $f (x)$ は区間 $[0, 4]$ で定義され，
$f (0) = 1$ ， $f (4) = 3$ ， $1 ≦ f (x) ≦ 4$ を満たす連続関数で，
そのグラフは各区間 $[j, j + 1]$ $(j = 0, 1, 2, 3)$ において
傾きが $- 1$ ，0，1のいずれかである直線とする．
各区間 $[j, j + 1]$ における直線の傾きを $g_{j}$ とする．

(1) $g_{0} + g_{1} + g_{2} + g_{3}$ を求めよ．

(2) $\sum_{j = 0}^{3} \int_{j}^{j + 1} {f (x) + g_{j}} d x$ の
値の最大および最小を求めよ．

難易度6/ 10計算量6/ 10目安20分

積分、場合の数　状態分類、面積計算、数え上げ

方針

各区間の傾き $g_{j}$ は $- 1, 0, 1$ のいずれかで、端点条件から和は2になる。(2)の式は $\int_{0}^{4} f (x) d x + \sum g_{j}$ である。途中の高さが1から4に収まる傾き列を列挙し、台形面積を比較する。

解答

(1)

各区間の長さは1なので $g_{0} + g_{1} + g_{2} + g_{3} = f (4) - f (0) = 2.$ (2)

求める量を $T$ とすると $T = \int_{0}^{4} f (x) d x + 2.$ 条件を満たす傾き列は $\begin{array}{c} (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, - 1, 1, 1), \\ (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), \\ (1, 1, - 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, - 1) \end{array}$ である。

最小は $(0, 0, 1, 1)$ のときで、端点値が $1, 1, 1, 2, 3$ だから $\int_{0}^{4} f = 6$ 、よって $T = 8$ である。最大は $(1, 1, 1, - 1)$ のときで、端点値が $1, 2, 3, 4, 3$ だから $\int_{0}^{4} f = 11$ 、よって $T = 13$ である。

したがって $最小値 8, 最大値 13.$

総評

目安は20分。(1)の和2を(2)で定数として使うのが整理の要点である。傾きの総和だけでなく、途中で $f < 1$ や $f > 4$ にならない条件も必要。折れ線の積分は各区間の台形面積で計算し、最大・最小を実現する傾き列も併記する。

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出典: 大阪大学 1989年度後期理系第3問（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1989年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

方針

解答

総評

大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第3問