大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

原点以外の交点を $(X,Y)$ とする。$X>0$，$Y>0$ であり，交点では $Y=a{X}^n,X=b{Y}^n$ が成り立つ。$Y=a{X}^n$ を $X=b{Y}^n$ に代入すると $X=b(a{X}^n{)}^n=b{a}^n{X}^{n^2}$ である。$X>0$ なので $$X^{n^2-1}=\frac{1}{b{a}^n}$$ となり，$$X=(b{a}^n{)}^{-\frac{1}{n^2-1}}$$ である。

面積を $S$ とする。長方形 $$0\leqq x\leqq X,0\leqq y\leqq Y$$ の面積は $XY$ である。この長方形から，曲線 $y=a{x}^n$ の下側の面積と，曲線 $x=b{y}^n$ の左側の面積を引けば，二つの曲線で囲まれた部分が残る。したがって $$S=XY-{\int }_0^{X}a{x}^{n}dx-{\int }_0^{Y}b{y}^{n}dy$$ である。

ここで交点条件 $Y=a{X}^n$，$X=b{Y}^n$ を使うと $${\int }_0^{X}a{x}^{n}dx=\frac{a{X}^{n+1}}{n+1}=\frac{XY}{n+1}$$ であり，また $${\int }_0^{Y}b{y}^{n}dy=\frac{b{Y}^{n+1}}{n+1}=\frac{XY}{n+1}$$ である。よって $$S=XY-\frac{XY}{n+1}-\frac{XY}{n+1}=\frac{n-1}{n+1}XY$$ となる。

あとは $XY$ を $a,b,n$ で表す。$Y=a{X}^n$ より $XY=a{X}^{n+1}$ である。先に求めた $X$ を用いると $$XY=a(b{a}^n{)}^{-\frac{n+1}{n^2-1}}$$ である。$n^2-1=(n-1)(n+1)$ だから $$\frac{n+1}{n^2-1}=\frac{1}{n-1}$$ であり，$$XY=a(b{a}^n{)}^{-\frac{1}{n-1}}=a\cdot b^{-\frac{1}{n-1}}{a}^{-\frac{n}{n-1}}=(ab{)}^{-\frac{1}{n-1}}$$となる。

したがって求める面積は $${\displaystyle S=\frac{n-1}{n+1}(ab{)}^{-\frac{1}{n-1}}}$$ である。

別解。縦に切って直接積分してもよい。$x=b{y}^n$ から，上側の曲線は $$y={\left(\frac{x}{b}\right)}^{1\mathrm{/}n}$$ である。したがって $$S={\int }_0^X\{{\left(\frac{x}{b}\right)}^{1\mathrm{/}n}-a{x}^n\}dx$$ である。計算すると$${\int }_0^X{\left(\frac{x}{b}\right)}^{1\mathrm{/}n}dx=\frac{n}{n+1}{b}^{-1\mathrm{/}n}{X}^{(n+1)\mathrm{/}n}$$であるが，$Y=(X\mathrm{/}b{)}^{1\mathrm{/}n}$ なのでこれは $\frac{n}{n+1}XY$ に等しい。また $${\int }_0^{X}a{x}^{n}dx=\frac{XY}{n+1}$$ であるから $$S=\frac{n}{n+1}XY-\frac{1}{n+1}XY=\frac{n-1}{n+1}XY$$ となり，上と同じ結論を得る。