大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$-1<a<1$ であり、関数 $f(x)=(x^2-1)(x-a{)}^2$ の零点は $x=-1,a,1$ である。ただし $x=a$ は重解である。また $-1<x<1$ では $x^2-1<0$ だから、面積を表すときの被積分関数は $-f(x)=(1-x^2)(x-a{)}^2$ である。

(1)
したがって $$S_1(a)+S_2(a)={\int }_{-1}^1(1-x^2)(x-a{)}^{2}dx$$ である。被積分関数を展開すると $$(1-x^2)(x-a{)}^2=x^2-x^4-2ax+2a{x}^3+a^2-a^2{x}^2$$ である。このうち奇関数部分の積分は $[-1,1]$ で消えるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_1(a)+S_2(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1\{x^2-x^4+a^2(1-x^2)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\frac{2}{3}-\frac{2}{5})+a^2(2-\frac{2}{3})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{4}{15}+\frac{4a^2}{3}=\frac{4(5a^2+1)}{15}}\end{array}$$である。

(2)
左右の差を調べる。計算しやすいように$$S_1(a)-S_2(a)={\int }_{-1}^a(1-x^2)(x-a{)}^{2}dx-{\int }_a^1(1-x^2)(x-a{)}^{2}dx$$とおく。各積分を実行すると $$S_1(a)-S_2(a)=-\frac{a(a^4-10a^2-15)}{15}$$ である。

ここで $-1<a<1$ では $a^4-10a^2-15<0$ である。したがって $S_1(a)-S_2(a)$ の符号は $a$ の符号と同じである。よって $$-1<a<0\text{なら}{S}_1(a)<S_2(a),$$ $$a=0\text{なら}{S}_1(a)=S_2(a),$$ $$0<a<1\text{なら}{S}_1(a)>S_2(a)$$ である。