大阪大学 1988年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

中心間距離を $d=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ とする。$d\ge 2$ のとき2球の内部は重ならず、接する $d=2$ の場合も共通部分の体積は0なので $V(a)=0$ である。

$0\le d\le 2$ とする。座標軸を2中心を結ぶ向きにとると、2球の表面が交わる円は中心間の中点の平面上にある。したがって共通部分は、高さ$$h=1-\frac{d}{2}$$の合同な球冠2個からなる。

半径1、高さ $h$ の球冠の体積を求める。球の中心を原点とし、$x=1-h$ から $x=1$ まで切ると、断面円の面積は $\pi (1-x^2)$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle W(h)}& {\displaystyle =\pi {\int }_{1-h}^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi h^2(1-\frac{h}{3})\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(a)}& {\displaystyle =2\pi {(1-\frac{d}{2})}^2\{1-\frac{1}{3}(1-\frac{d}{2})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{\pi }{12}(4+d)(2-d{)}^2(0\le d\le 2)\mathrm{.}}\end{array}$$$d=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ を戻すと$$V(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi }{12}}(4+\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid })(2-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{)}^2,& \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\le 2,\\ 0,& \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge 2.\end{array}$$である。グラフは $y$ 軸対称で、$V(0)=4\pi \mathrm{/}3$ を最大値とし、$a=\pm 2$ で0になり、$\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\ge 2$ では $a$ 軸上に一致する。$0<\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }<2$ では $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ の増加とともに単調に減少する。

2中心を原点の両側へ移し、共通部分の断面円を中心面から直接積分する。得た偶関数の概形も確認する。

$d=\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ と置く。$d\geqq 2$ なら共通部分の体積は0である。
$0\leqq d\leqq 2$ では、2中心を $(-d\mathrm{/}2,0,0),(d\mathrm{/}2,0,0)$ に移してよい。
$x\geqq 0$ における共通部分の断面は、左側の球で決まり、その面積は$$\pi \{1-{(x+\frac{d}{2})}^2\}$$である。対称性より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(a)}& {\displaystyle =2\pi {\int }_0^{1-d\mathrm{/}2}\{1-{(x+\frac{d}{2})}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\pi {[u-\frac{u^3}{3}]}_{d\mathrm{/}2}^1=\frac{\pi }{12}(4+d)(2-d{)}^2\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$V(a)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{\pi }{12}}(4+\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid })(2-\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }{)}^2,& \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 2,\\ 0,& \mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\geqq 2.\end{array}$$これは偶関数で、$a=0$ で $4\pi \mathrm{/}3$、$a=\pm 2$ で0となる。