大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

積和公式より $$\cos 2nx\cos x=\frac{1}{2}\{\cos (2n-1)x+\cos (2n+1)x\}$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\cos 2nx\cos xdx}& {\displaystyle =\frac{1}{2}{[\frac{\sin (2n-1)x}{2n-1}+\frac{\sin (2n+1)x}{2n+1}]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{2}\{\frac{(-1{)}^{n-1}}{2n-1}+\frac{(-1{)}^n}{2n+1}\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1)(2n+1)}}\end{array}$$である。

よって級数の第 $n$ 項は $$n{\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}\cos 2nx\cos xdx=\frac{(-1{)}^{n-1}n}{(2n-1)(2n+1)}$$ である。ここで $$\frac{n}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{4}(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})$$ だから、第 $N$ 部分和を $S_N$ とすると$$S_N=\frac{1}{4}\sum _{n=1}^N(-1{)}^{n-1}(\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1})$$である。実際に並べると $$S_N=\frac{1}{4}\{1+\frac{(-1{)}^{N-1}}{2N+1}\}$$ となる。中間の $1\mathrm{/}3,1\mathrm{/}5,\dots ,1\mathrm{/}(2N-1)$ の項は符号が反対の隣の項と打ち消し合うためである。

したがって $$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_N=\frac{1}{4}$$ である。よって与えられた無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{4}$ である。