大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
求める球面の中心を $(p,q,z)$ 半径を $R$ とする。$S_1$ の中心は $(0,0,2)$，半径は $1$ である。求める球面が $S_1$ に外接するから，中心間距離は半径の和 $R+1$ に等しく，$p^2+q^2+(z-2{)}^2=(R+1{)}^2$ である。同様に，$S_2$ の中心は $(0,0,-2)$ なので $p^2+q^2+(z+2{)}^2=(R+1{)}^2$ である。

この二式の右辺は等しいので，左辺を引き算すると $(z-2{)}^2-(z+2{)}^2=0$ である。展開して $z^2-4z+4-(z^2+4z+4)=0$ より $-8z=0$ であるから $${\displaystyle z=0}$$ となる。したがって，求める球面の中心は $xy$ 平面上にある。

(2)
(1)
より，中心を $(p,q,0)$，半径を $R$ とおいてよい。$S_1$ に外接する条件から $$\sqrt{p^2+q^2+4}=R+1$$ である。よって $$R=\sqrt{p^2+q^2+4}-1$$ である。

一方，$S_3$ の中心は $(2,0,0)$，半径は $3$ である。求める球面が $S_3$ に内接するので，中心間距離と半径 $R$ の和が $3$ になる。したがって $$\sqrt{(p-2{)}^2+q^2}+R=3$$ であり，$R$ を代入して $$\sqrt{(p-2{)}^2+q^2}+\sqrt{p^2+q^2+4}=4$$ を得る。

この式を整理する。第1項を右辺に移すよりも，第1項を左に残して第2項を右に移すと $$\sqrt{(p-2{)}^2+q^2}=4-\sqrt{p^2+q^2+4}$$ である。両辺を二乗すると $$(p-2{)}^2+q^2=16-8\sqrt{p^2+q^2+4}+p^2+q^2+4$$ となる。左辺を展開して整理すると $$p^2-4p+4+q^2=p^2+q^2+20-8\sqrt{p^2+q^2+4}$$ だから $$8\sqrt{p^2+q^2+4}=4p+16$$ すなわち $$2\sqrt{p^2+q^2+4}=p+4$$ である。さらに二乗して $4(p^2+q^2+4)=(p+4{)}^2$ を得る。展開すると $4p^2+4q^2+16=p^2+8p+16$ であるから $3p^2+4q^2-8p=0$ となる。

平方完成すると $$3{(p-\frac{4}{3})}^2+4q^2=\frac{16}{3}$$ であり，したがって$${\displaystyle \frac{{(p-\frac{4}{3})}^2}{\frac{16}{9}}+\frac{q^2}{\frac{4}{3}}=1}$$を得る。

よって点 $(p,q)$ の軌跡は，中心 $(\frac{4}{3},0)$，$p$ 方向の半径 $\frac{4}{3}$，$q$ 方向の半径 $\frac{2}{\sqrt{3}}$ の楕円である。概形は $p$ 軸に関して対称な楕円で，$p$ 座標の範囲は $$0\leqq p\leqq \frac{8}{3}$$ である。