大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
直線 $l:y=1$ 上の点は $(x,1)$ と表される。この点を $A$ で移すと$$A\left(\begin{array}{c}x\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax+b\\ cx+d\end{array}\right)$$すなわち，座標で書けば $(ax+b,cx+d)$ である。これが直線 $l^{\mathrm{\prime }}:y=kx$ 上にあるので，すべての実数 $x$ について $cx+d=k(ax+b)$ が成り立つ。右辺を展開すると $cx+d=kax+kb$ であり，$x$ の係数と定数項を比較して $${\displaystyle c=ka,d=kb}$$ を得る。

(2)
(1)
より$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right)$$である。したがって$$A^2=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right)$$であり，各成分を計算すると$$A^2=\left(\begin{array}{cc}{a}^2+kab& ab+k{b}^2\\ k{a}^2+k^{2}ab& kab+k^2{b}^2\end{array}\right)$$となる。一方，$$(a+kb)A=(a+kb)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ ka& kb\end{array}\right)$$の各成分は$$\left(\begin{array}{cc}{a}^2+kab& ab+k{b}^2\\ k{a}^2+k^{2}ab& kab+k^2{b}^2\end{array}\right)$$で一致する。よって $${\displaystyle A^2=(a+kb)A}$$ である。

(3)
直線 $l^{\mathrm{\prime }}$ 上の点は $(x,kx)=x(1,k)$ と表される。これを $A$ で移すと$$A\left(\begin{array}{c}x\\ kx\end{array}\right)=x\left(\begin{array}{c}a+kb\\ ka+k^{2}b\end{array}\right)=x(a+kb)\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right)$$である。したがって得られる点は少なくとも $l^{\mathrm{\prime }}$ 上にある。

ここで，もし $a+kb=0$ ならば，(2)より $A^2=(a+kb)A=0$ となり，$A^2$ は零行列になってしまう。これは仮定に反する。したがって $a+kb\mathrm{\ne }0$ である。

このとき，任意の $l^{\mathrm{\prime }}$ 上の点 $t(1,k)$ に対し，$$x=\frac{t}{a+kb}$$ と選べば$$A\left(\begin{array}{c}x\\ kx\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}1\\ k\end{array}\right)$$となる。よって $l^{\mathrm{\prime }}$ 上の任意の点が実際に得られるので，$f$ により $l^{\mathrm{\prime }}$ から得られる点全体は $l^{\mathrm{\prime }}$ である。