大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

左辺を $F(x)=x^3-3m^{2}x+18m$ とおく。

まず $m=0$ の場合を調べる。このとき $F(x)=x^3$ であるから，実数解は $x=0$ だけである。これは整数解なので，$m=0$ は条件を満たす。

以下，$m>0$ とする。導関数は $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-3m^2=3(x-m)(x+m)$$ である。したがって，$F(x)$ は $x<-m\text{で増加},$ $-m<x<m\text{で減少},$ $x>m\text{で増加}$ する。よって $x=-m$ で極大，$x=m$ で極小をとる。

その値を計算すると $$F(-m)=(-m{)}^3-3m^2(-m)+18m=2m^3+18m=2m(m^2+9)>0$$ であり，$$F(m)=m^3-3m^3+18m=-2m^3+18m=2m(9-m^2)$$ である。 $0<m<3$ のときは $F(m)>0$ である。$x\to -\mathrm{\infty }$ で $F(x)\to -\mathrm{\infty }$ となり，その後 $x=-m$ で正の値をとるので，$(-\mathrm{\infty },-m)$ に一つ実数解がある。一方，$x=-m$ 以後は極小値も正であるから，それ以上の範囲では実数解をもたない。したがって実数解は一つだけである。 $m=3$ のときは $F(m)=0$ であり，実際 $$F(x)=x^3-27x+54=(x-3{)}^2(x+6)$$ である。したがって実数解は $x=3,-6$ の二つがあり，条件を満たさない。 $m>3$ のときは $F(-m)>0$，$F(m)<0$ である。さらに $x\to -\mathrm{\infty }$ で $F(x)\to -\mathrm{\infty }$，$x\to \mathrm{\infty }$ で $F(x)\to \mathrm{\infty }$ だから，三つの区間 $(-\mathrm{\infty },-m),(-m,m),(m,\mathrm{\infty })$ にそれぞれ一つずつ実数解をもつ。よって条件を満たさない。

以上より，条件を満たす可能性があるのは $m=0,1,2$ だけである。$m=0$ はすでに条件を満たすことを確認した。 $m=1$ のときは $F(x)=x^3-3x+18$ であり，$F(-3)=-27+9+18=0$ である。$0<m<3$ の場合なので実数解は一つだけであり，その一つが整数解 $-3$ である。したがって $m=1$ は条件を満たす。 $m=2$ のときは $F(x)=x^3-12x+36$ である。この場合も実数解は一つだけである。ところが $F(-5)=-125+60+36=-29<0$ であり，$F(-4)=-64+48+36=20>0$ であるから，そのただ一つの実数解は $-5$ と $-4$ の間にある。したがって整数ではない。よって $m=2$ は条件を満たさない。

以上から，求める $m$ は $${\displaystyle m=0,1}$$ である。