大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

小円の中心を $P=(x,y)$、半径を $r$ とする。問題で求めるのは $$y>\frac{1}{2}$$ の部分なので、小円が直線 $$l:y=\frac{1}{2}$$ に接することから $$r=y-\frac{1}{2}$$ である。また小円は円 $C:x^2+y^2=1$ に内接するから、原点 $O$ と $P$ の距離について $OP+r=1$ が成り立つ。したがって $$\sqrt{x^2+y^2}+y-\frac{1}{2}=1$$ すなわち $$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{3}{2}-y$$ である。左辺は0以上なので、右辺も0以上でなければならないが、以下で得る範囲では実際に満たされる。

両辺を2乗すると $$x^2+y^2={(\frac{3}{2}-y)}^2=\frac{9}{4}-3y+y^2$$ である。よって $$3y=\frac{9}{4}-x^2$$ となり、中心 $P$ の軌跡は $$y=\frac{3}{4}-\frac{x^2}{3}$$ である。

この放物線が直線 $$y=\frac{1}{2}$$ より上にある条件は $$\frac{3}{4}-\frac{x^2}{3}>\frac{1}{2}$$ であり、これは $$\frac{1}{4}>\frac{x^2}{3},\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<\frac{\sqrt{3}}{2}$$ と同値である。したがって求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\frac{3}{4}-\frac{x^2}{3}-\frac{1}{2})dx}& {\displaystyle ={\int }_{-\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}(\frac{1}{4}-\frac{x^2}{3})dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{[\frac{x}{4}-\frac{x^3}{9}]}_0^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\sqrt{3}}{24})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}}}\end{array}$$である。