大阪大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)

$y=mx$ を $E_1$ に代入して整理すると$$(k^2+m^2)x^2-2k^2{c}_{1}x+k^2(c_1^2-a_1^2)=0.$$接するため判別式は0である。よって$$m^2(c_1^2-a_1^2)=k^2{a}_1^2$$となり、$m>0$ だから$${\displaystyle m=\frac{k{a}_1}{\sqrt{c_1^2-a_1^2}}\mathrm{.}}$$(2)

同じ計算を $E_n$ に行うと$$\frac{c_n}{a_n}=\frac{c_1}{a_1}=:\lambda >1$$である。$c_n>c_{n+1}$ より $a_n>a_{n+1}$ である。二つの楕円は同じ縦横比をもち、中心が $x$ 軸上にある。内接なら中心間距離は $a_n-a_{n+1}$ だが、実際には $\lambda (a_n-a_{n+1})$ であり $\lambda >1$ なので不可能である。したがって外接し、$$c_n-c_{n+1}=a_n+a_{n+1}\mathrm{.}$$$c_j=\lambda a_j$ を代入すると$${\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\lambda -1}{\lambda +1}=\frac{c_1-a_1}{c_1+a_1}\mathrm{.}}$$(3)

$S_n=\pi k{a}_n^2$ である。(2)の比を $r$ とおくと $0<r<1$ だから$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{\pi k{a}_1^2}{1-r^2}\mathrm{.}$$ここで$$1-r^2=1-{\left(\frac{c_1-a_1}{c_1+a_1}\right)}^2=\frac{4c_1{a}_1}{(c_1+a_1{)}^2}\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{S}_n=\frac{\pi k{a}_1(c_1+a_1{)}^2}{4c_1}\mathrm{.}}$$