大阪大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

$\theta =\mathrm{\angle }AOB$、また連続する弧 $BC,CD,DA$ の中心角を $\beta ,\delta ,\alpha$ とする。

(1) 円に内接する四角形の面積は$$\frac{1}{2}(\sin \theta +\sin \beta +\sin \delta +\sin \alpha )\mathrm{.}$$$D_1$ は弧 $CA$ の中点だから$${\alpha }_1=\mathrm{\angle }{D}_{1}OA=\frac{\delta +\alpha }{2}\mathrm{.}$$また $C_1$ は弧 $B{D}_1$ の中点だから$${\beta }_1=\mathrm{\angle }BO{C}_1=\frac{\beta +{\alpha }_1}{2}\mathrm{.}$$$0<u,v,u+v<2\pi$ のとき$$\sin u+\sin v\leqq 2\sin \frac{u+v}{2}$$である。従って$$\sin \delta +\sin \alpha \leqq 2\sin {\alpha }_1,\sin \beta +\sin {\alpha }_1\leqq 2\sin {\beta }_1\mathrm{.}$$以上を足し合わせれば$$\sin \beta +\sin \delta +\sin \alpha \leqq 2\sin {\beta }_1+\sin {\alpha }_1,$$よって新しい四角形の面積は小さくない。

(2) 点の並びから$${\alpha }_{n+1}=\pi -\frac{\theta +{\beta }_n}{2},{\beta }_{n+1}=\pi -\frac{\theta +{\alpha }_{n+1}}{2}\mathrm{.}$$第2式へ第1式を代入すると$${\beta }_{n+1}=\frac{1}{2}(\pi -\frac{\theta }{2})+\frac{1}{4}{\beta }_n\mathrm{.}$$従って ${\beta }_n$ は収束し、その極限は$$\frac{2\pi -\theta }{3}\mathrm{.}$$第1式から ${\alpha }_n$ も同じ値へ収束する。よって$$\lim {\alpha }_n=\lim {\beta }_n=\frac{2\pi -\theta }{3}\mathrm{.}$$