大阪大学 1991年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問

以下の文中の（ア）～（キ）に適する数または式を解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(1) 曲線 $y = x^{2}$ 上の点 $P (a, a^{2})$ $(a \neq 0)$ における接線と直交し，
点 $P$ を通る直線 $y =$ （ア）と，曲線 $y = x^{2}$ との $P$ と異なる交点 $Q$ の座標は（イ）となる．
点 $Q$ を1つの頂点とし， $P$ における接線上に他の2頂点をもつ正三角形の面積 $S$ は（ウ）であり，
点 $P$ が曲線 $y = x^{2}$ $(x > 0)$ 上を動くとき， $S$ を最小にする $a$ の値は（エ）である．

(2) 赤玉1個，白玉2個，青玉 $n$ 個を1列に並べる順列の総数は（オ）である．

いま，赤玉1個，白玉2個，青玉 $n$ 個の入った箱から無作為に玉を1個取り出し，
箱に戻すという操作を $n + 3$ 回くり返す．
このとき，赤玉が1回，白玉が2回，青玉が $n$ 回取り出される確率を $P_{n}$ とすると，
$P_{n} =$ （カ）であり， $\lim_{n \to \infty} P_{n} =$ （キ）となる．

難易度7/ 10計算量8/ 10目安22分

図形と方程式、微分、場合の数、確率　接線・法線、面積計算、微分による最大最小、期待値

方針

(1) は法線と放物線のもう1つの交点を求め、正三角形の高さが点と接線の距離になることから面積を表す。(2)は多項分布の確率を整理し、指数関数の基本極限を使う。

解答

(1) 点 $P$ における法線は $y = - \frac{x}{2 a} + a^{2} + \frac{1}{2} .$ よって（ア）はこの式である。放物線との交点の $x$ 座標の和は $- 1 / (2 a)$ だから、もう1つの交点は $Q = (- a - \frac{1}{2 a}, {(a + \frac{1}{2 a})}^{2}) .$ これが（イ）である。

$P Q$ は接線に垂直であり、その長さを $d$ とすると $d^{2} = \frac{(4 a^{2} + 1)^{3}}{16 a^{4}} .$ 正三角形で頂点から対辺までの距離が $d$ のとき面積は $d^{2} / \sqrt{3}$ だから $S = \frac{(4 a^{2} + 1)^{3}}{16 \sqrt{3} a^{4}} .$ これが（ウ）である。 $u = 4 a^{2}$ とおくと $S = (u + 1)^{3} / (\sqrt{3} u^{2})$ で、微分により $u = 2$ で最小となる。従って（エ）は $a = \frac{1}{\sqrt{2}} .$ (2) 順列の総数（オ）は $\frac{(n + 3)!}{2 n!} .$ 各回の赤、白、青の確率はそれぞれ $1 / (n + 3), 2 / (n + 3), n / (n + 3)$ だから $P_{n} = \frac{2 (n + 3)! n^{n}}{n! (n + 3)^{n + 3}} .$ これが（カ）である。整理すると $P_{n} = 2 \frac{(n + 1) (n + 2)}{(n + 3)^{2}} {(\frac{n}{n + 3})}^{n} .$ 従って（キ）は $\lim_{n \to \infty} P_{n} = \frac{2}{e^{3}} .$

総評

法線幾何と多項分布の2題を正確に処理する計算問題で目安は22分。正三角形の面積を高さ $d$ から $d^{2} / \sqrt{3}$ とする点と、確率の多項係数に注意する。

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出典: 大阪大学 1991年度後期理系数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

大阪大学 1991年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

方針

解答

総評

大阪大学 1991年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第4問