大阪大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $X_1,X_2$ は独立で、それぞれ期待値 $p$、また $E(X_1{X}_2)=p^2$ である。従って$$E(Y)=(a+b)p+c{p}^2\mathrm{.}$$(2) すべての $p$ で $E(Y)=p$ となる条件は$$a+b=1,c=0.$$このとき $Y=a{X}_1+b{X}_2$ であり、独立性から$$V(Y)=a^{2}p(1-p)+b^{2}p(1-p)=p(1-p)(a^2+b^2)\mathrm{.}$$$a+b=1$ のもとで$$a^2+b^2={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-b{)}^2\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$等号は $a=b=1\mathrm{/}2$ のときである。従って$$a={\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{1}{2}},c=0.$$

4通りの $(X_1,X_2)$ ごとに $Y$ の値と確率を表にし、期待値を直接作る。不偏条件を係数比較した後、分散を $E(Y^2)-E(Y{)}^2$ から計算し、平方完成で最小化する。

(1) $$(X_1,X_2)=(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$$ に対する $Y$ の値は順に$$0,a,b,a+b+c$$であり、確率は順に$$(1-p{)}^2,p(1-p),p(1-p),p^2$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(Y)}& {\displaystyle =ap(1-p)+bp(1-p)+(a+b+c)p^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a+b)p+c{p}^2\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
これがすべての $p$ で $p$ に等しいための条件は$$a+b=1,c=0.$$このとき$$E(Y^2)=(a^2+b^2)p(1-p)+(a+b{)}^2{p}^2=(a^2+b^2)p(1-p)+p^2\mathrm{.}$$よって$$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2=(a^2+b^2)p(1-p)\mathrm{.}$$$b=1-a$ を代入すると$$a^2+b^2=a^2+(1-a{)}^2=2{(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$したがってすべての $0<p<1$ で分散を最小にするのは$$a=b={\displaystyle \frac{1}{2}},c=0$$のときである。