大阪大学 1992年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
頂点の座標が整数で、1辺の長さが1である正方形を考える。隣り合う2頂点を結ぶベクトルは整数成分をもち、長さが1であるから、可能なのは $(\pm 1,0),(0,\pm 1)$ だけである。したがって条件（イ）を満たす板は、座標軸に平行な格子の単位正方形である。

頂点の $x$ 座標と $y$ 座標は $-n,-n+1,\dots ,n$ の範囲にあるので、単位正方形の左下の頂点は $$-n\leqq x\leqq n-1,-n\leqq y\leqq n-1$$ を満たす整数点として選べる。したがって単位正方形全体の個数は $(2n)(2n)=4n^2$ である。

また、原点を頂点の1つにもつ単位正方形は、原点のまわりの4つである。これらを特別な正方形と呼ぶ。

4枚の板が重なり合わないという条件は、この $4n^2$ 個の単位正方形から異なる4個を選ぶことと同じである。特別な正方形の1つを固定すると、4個のうちにそれが含まれる確率は $$\frac{4}{4n^2}=\frac{1}{n^2}$$ である。原点を頂点にもつ板の枚数を $X$ とし、4つの特別な正方形について、それが選ばれたとき1、選ばれないとき0をとる量を $X_1,X_2,X_3,X_4$ とすれば $X=X_1+X_2+X_3+X_4$ である。よって期待値の線形性より$$\mathrm{E}(X)=\mathrm{E}(X_1)+\mathrm{E}(X_2)+\mathrm{E}(X_3)+\mathrm{E}(X_4)=4\cdot \frac{1}{n^2}={\displaystyle \frac{4}{n^2}}$$である。

別解。全配置数を数えてもよい。$N=4n^2$ とすると、配置数は ${}_N{\mathrm{C}}_4$ である。1つの特別な正方形が含まれる配置数は ${}_{N-1}{\mathrm{C}}_3$ だから、4つの特別な正方形についての出現回数の総和は $4\cdot {}_{N-1}{\mathrm{C}}_3$ である。したがって期待値は$$\frac{4\cdot {}_{N-1}{\mathrm{C}}_3}{{}_N{\mathrm{C}}_4}=4\cdot \frac{4}{N}=\frac{16}{4n^2}=\frac{4}{n^2}$$となる。

(2)
(1)より、条件は $$\frac{4}{n^2}\leqq \frac{1}{100}$$ である。両辺は正なので $400\leqq n^2$ であり、$n$ は自然数だから $n\geqq 20$ である。よって求める最小の $n$ は ${\displaystyle 20}$ である。