大阪大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
2回移動した後に $A$ に戻るには，時計まわりの移動と反時計まわりの移動が1回ずつ起こればよい。反時計まわりに進む確率は $1\mathrm{/}6$，時計まわりに進む確率は $5\mathrm{/}6$ であるから $$a_1=2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$$ である。したがって $${\displaystyle a_1=\frac{5}{18}}$$ である。

(2)
2回移動したときの結果を調べる。同じ頂点に戻るのは，時計まわりと反時計まわりが1回ずつ起こる場合である。したがって，その確率は $$2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{18}$$ である。

一方，向かいの頂点に移るのは，同じ向きに2回続けて進む場合である。したがって，その確率は$${\left(\frac{1}{6}\right)}^2+{\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{1}{36}+\frac{25}{36}=\frac{13}{18}$$である。

偶数回移動した後には，$Q$ は $A$ または向かいの頂点 $C$ にいる。$2n$ 回後に $A$ にいる確率が $a_n$ なので，$2n$ 回後に $C$ にいる確率は $1-a_n$ である。 $2n$ 回後に $A$ にいて，その後2回で同じ頂点に戻る場合，$Q_{2n+2}=A$ となる。また，$2n$ 回後に $C$ にいて，その後2回で向かいの頂点に移る場合も $Q_{2n+2}=A$ となる。よって $$a_{n+1}=a_n\cdot \frac{5}{18}+(1-a_n)\cdot \frac{13}{18}$$ である。整理して$$a_{n+1}=\frac{5}{18}{a}_n+\frac{13}{18}-\frac{13}{18}{a}_n=\frac{13}{18}-\frac{4}{9}{a}_n$$を得る。したがって $${\displaystyle a_{n+1}=\frac{13}{18}-\frac{4}{9}{a}_n}$$ である。

(3)
(2)
の漸化式から，極限が存在するとすれば $L$ は $$L=\frac{13}{18}-\frac{4}{9}L$$ を満たす。これを解くと $$\frac{13}{9}L=\frac{13}{18}$$ より $$L=\frac{1}{2}$$ である。

実際にこの値へ近づくことを確認する。漸化式から$$a_{n+1}-\frac{1}{2}=\frac{13}{18}-\frac{4}{9}{a}_n-\frac{1}{2}=\frac{2}{9}-\frac{4}{9}{a}_n=-\frac{4}{9}(a_n-\frac{1}{2})$$である。したがって $$a_n-\frac{1}{2}={(-\frac{4}{9})}^{n-1}(a_1-\frac{1}{2})$$ である。比の絶対値は $$\frac{4}{9}<1$$ だから右辺は $0$ に近づく。よって $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=\frac{1}{2}}$$ である。