大阪大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

曲線 $C_1$ 上の接点を $(x,f(x))$ とする。接線の $y$ 軸との交点は$$Q=(0,f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x))$$だから、その中点が $C_2$ 上にある条件は$$\begin{array}{cccc}& g(x\mathrm{/}2)=f(x)-{\displaystyle \frac{x}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$$t>1$ のとき面積条件は$${\int }_1^{t}f(x)dx={\int }_{1\mathrm{/}2}^{t\mathrm{/}2}g(x)dx$$である。$0<t<1$ でも両辺の積分の向きをそろえれば同じ等式になる。これを $t$ で微分して$$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}g(t\mathrm{/}2)\mathrm{.}$$(1)を代入すると$$f(t)={\displaystyle \frac{1}{2}}f(t)-{\displaystyle \frac{t}{4}}{f}^{\mathrm{\prime }}(t),$$従って$$t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=-2f(t)\mathrm{.}$$よって $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\{t^{2}f(t)\}=0$$ であり、$f(1)=2$ から$$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}(x>0)$$を得る。

面積条件を任意の2端点の積分等式へ拡張し、変数変換によって被積分関数そのものの等式 $g(x\mathrm{/}2)=2f(x)$ を得る。接線の切片から得る中点条件と直接結合し、保存量 $x^{2}f(x)$ を見つける。

接点 $P=(x,f(x))$ における接線の $y$ 切片は$$f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)$$である。したがって $PQ$ の中点条件は$$\begin{array}{cccc}& g\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=f(x)-{\displaystyle \frac{x}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x)\mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$面積等式は任意の正の端点 $u,v$ に対して$${\int }_u^{v}f(x)dx={\int }_{u\mathrm{/}2}^{v\mathrm{/}2}g(s)ds$$と書ける。右辺で $x=2s$ と変数変換すると$${\int }_u^{v}f(x)dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_u^{v}g\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)dx\mathrm{.}$$これは任意の区間で成立するので、連続性から$$\begin{array}{cccc}& g\left({\displaystyle \frac{x}{2}}\right)=2f(x)\mathrm{.}& & \text{(2)}\end{array}$$(1),(2)を比べると$$2f(x)=f(x)-{\displaystyle \frac{x}{2}}{f}^{\mathrm{\prime }}(x),$$すなわち$$x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=-2f(x)\mathrm{.}$$よって$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{x^{2}f(x)\}=2xf(x)+x^2{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=0.$$したがって $x^{2}f(x)=C$ である。条件 $f(1)=2$ より $C=2$ なので$$f(x)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}(x>0)\mathrm{.}$$この関数から(1)で得る $g$ は正であり、面積条件も満たす。