大阪大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

求める和を $$S_n=\sum _{k=1}^n(a{k}^2+bk+1)$$ とおく。公式$$\sum _{k=1}^n{k}^2={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}},\sum _{k=1}^{n}k={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$より $$S_n=a{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}+b{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+n$$ である。したがって $${\displaystyle \frac{S_n}{n}}={\displaystyle \frac{a(n+1)(2n+1)+3b(n+1)+6}{6}}$$ である。よって，すべての自然数$n$で$S_n$が$n$で割り切れるためには $$N_n=a(n+1)(2n+1)+3b(n+1)+6$$ がすべての自然数$n$で$6$の倍数になればよい。

まず$3$で割った余りを見る。$3b(n+1)+6$は常に$3$の倍数なので，必要なのは $a(n+1)(2n+1)$ が常に$3$の倍数になることである。$n=3$を代入すると $(n+1)(2n+1)=4\cdot 7=28$ であり，$28$は$3$で割り切れない。したがって $a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ が必要である。逆に$a$が$3$の倍数なら，この部分はすべての$n$で$3$の倍数になる。

次に$2$で割った余りを見る。$6$は偶数であり，$3\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$，$2n+1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$だから $$N_n\equiv a(n+1)+b(n+1)=(a+b)(n+1)(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$ である。これがすべての自然数$n$で偶数になるには，$n+1$が奇数になる場合，たとえば$n=2$を考えて $a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ が必要である。逆に$a+b$が偶数なら，$(a+b)(n+1)$はすべての$n$で偶数である。

以上より条件は $a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3),a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$ である。

ここで$1\leqq a\leqq 6m$のうち，$3$の倍数は $3,6,9,\dots ,6m$ の$2m$個である。このうち奇数は$m$個，偶数も$m$個である。また$1\leqq b\leqq 6m$のうち，奇数と偶数はいずれも$3m$個である。

条件$a+b$が偶数であるためには，$a,b$の偶奇が一致すればよい。したがって求める組の個数は $m\cdot 3m+m\cdot 3m=6m^2$ である。よって ${\displaystyle 6m^2}$ 組である。

$S_n\mathrm{/}n$ の分子を法 $6$ で見ると、$n$ を $6$ で割った余りだけで決まる。必要条件は $n=2,3$ から取り出し、得られた $3\mid a$、$a+b$ 偶数を使って全余りで十分性を確認する。最後に $6m\times 6m$ の格子点を偶奇別に数える。

求める和を $S_n$ とし、整数値をとるべき式を$$P(n)={\displaystyle \frac{S_n}{n}}={\displaystyle \frac{a(n+1)(2n+1)}{6}}+{\displaystyle \frac{b(n+1)}{2}}+1$$とおく。$P(n)$ は $n$ の2次式であるから、自然数 $n$ に対して常に整数となるための必要十分条件は$$P(1),\mathrm{\Delta }P(1),{\mathrm{\Delta }}^{2}P(1)$$がすべて整数であることである。実際、この条件なら$$P(n)=P(1)+(n-1)\mathrm{\Delta }P(1)+{\displaystyle \frac{(n-1)(n-2)}{2}}{\mathrm{\Delta }}^{2}P(1)$$の右辺は整数となり、逆は明らかである。

ここで$$P(1)=a+b+1,\mathrm{\Delta }P(1)={\displaystyle \frac{3a+b}{2}},{\mathrm{\Delta }}^{2}P(1)={\displaystyle \frac{2a}{3}}$$である。第1式は常に整数であり、残る二式より$$a+b\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2),a\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$を得る。

$1\leqq a\leqq 6m$ にある $3$ の倍数は $2m$ 個で、そのうち奇数・偶数は各 $m$ 個である。一方、$b$ の奇数・偶数は各 $3m$ 個である。偶奇の一致する組を数えて$$m\cdot 3m+m\cdot 3m=6m^2$$となる。よって答えは ${\displaystyle 6m^2}$ 組である。