大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

まず小さい正の整数を調べる。$m,n$ は負でない整数なので、表せる数は $5m+3n$ である。 $1,2$ は明らかに表せない。$3=5\cdot 0+3\cdot 1$ は表せる。$4$ は、$5m$ を使うと大きすぎ、$3n$ だけでは $0,3,6,\dots$ なので表せない。$5=5\cdot 1+3\cdot 0$、$6=5\cdot 0+3\cdot 2$ は表せる。$7$ は $m=0$ なら3の倍数でなく、$m=1$ なら残りが2で3の倍数でなく、$m\geqq 2$ なら $5m\geqq 10$ となるので表せない。

したがって、ここまでで表せない候補は $1,2,4,7$ である。

次に $x\geqq 8$ の正の整数はすべて表せることを示す。$x$ を3で割った余りで分ける。 $x\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときは $x=3n$ と書けるので、$m=0$ とすればよい。 $x\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき、$x\geqq 8$ だから $x-5\geqq 3$ であり、しかも $x-5$ は3で割り切れる。したがって $x=5+3n$ と書ける。 $x\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のとき、$x\geqq 8$ かつ余り1である最小の数は10なので、実際には $x\geqq 10$ である。このとき $x-10\geqq 0$ で、$x-10$ は3で割り切れる。したがって $x=10+3n=5\cdot 2+3n$ と書ける。

以上より、$8$ 以上の正の整数はすべて $5m+3n$ の形に表せる。したがって、求める正の整数は $1,2,4,7$ である。

$8,9,10$ が表せることを基点にする。表せる数に3を加えても表せるため、
3つの連続整数から $8$ 以上をすべて覆える。残りの小さい整数だけを直接調べる。

$$8=5+3,9=3\cdot 3,10=5\cdot 2$$はいずれも $5m+3n$ の形に表せる。
ある整数 $N=5m+3n$ が表せるなら$$N+3=5m+3(n+1)$$も表せる。従って$$8,11,14,\dots ;9,12,15,\dots ;10,13,16,\dots$$はすべて表せる。これは $8$ 以上の全整数を覆う。

そこで $1$ から $7$ までを直接調べる。$$3=3,5=5,6=3+3$$は表せる。一方 $1,2,4,7$ は、$5$ を0回または1回使った残りが
3の非負整数倍にならず、2回以上使えば大きすぎるため表せない。
従って答えは$$1,2,4,7$$である。