大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $x_n$ が偶数なら，積 $x_n{x}_{n+1}$ はただちに偶数である。$x_n$ が奇数なら，$x_n^3$ も奇数であるから $x_{n+1}=x_n^3+1$ は偶数である。したがって，$x_n$ が偶数の場合も奇数の場合も，少なくとも一方の因数が偶数になる。よって $x_n{x}_{n+1}\text{ は }2\text{ で割り切れる}$ が $0\leqq n\leqq 2$ に対して成り立つ。

(2)
整数を9で割った余りだけを見ればよい。余り $0,1,2,\dots ,8$ の3乗を9で割った余りは，必ず $0,1,8$ のいずれかである。実際，3の倍数の3乗は9の倍数であり，それ以外の余りを調べても $1$ または $8$ になる。

したがって $x_1=x_0^3+1$ を9で割った余りは $0+1,1+1,8+1$ を9で割った余りである。すなわち，$x_1$ を9で割った余りは $1,2,0$ のいずれかである。

(3)
(2)より，$x_1$ を9で割った余りは $0,1,2$ のいずれかである。 $x_1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ のときは，$x_1$ 自身が9の倍数なので，$x_1{x}_2{x}_3$ は9で割り切れる。 $x_1\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ のときは $$x_2=x_1^3+1\equiv 1^3+1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$ であり，さらに $$x_3=x_2^3+1\equiv 2^3+1=9\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$ である。したがって $x_3$ が9の倍数である。 $x_1\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ のときは $$x_2=x_1^3+1\equiv 2^3+1=9\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$$ である。したがって $x_2$ が9の倍数である。

以上の3場合すべてで，$x_1{x}_2{x}_3$ は9で割り切れる。また，(1)を $n=1$ に用いれば $x_1{x}_2$ は2で割り切れるので，$x_1{x}_2{x}_3$ も2で割り切れる。$2$ と $9$ は互いに素であるから，$x_1{x}_2{x}_3$ は $18$ で割り切れる。

漸化式を法2と法9の有限状態の写像として見る。法2では毎回偶奇が反転し、法9では1回写した後の余りが $0,1,2$ に限られ、その3状態が周期3で巡回することを表にして示す。

(1)
法2では$$x_{n+1}=x_n^3+1\equiv x_n+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}2)$$である。したがって隣り合う $x_n,x_{n+1}$ の偶奇は異なり、積 $x_n{x}_{n+1}$ は偶数である。

(2)
法9で $r^3+1$ を調べる。$r\equiv 0,3,6(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なら値は1、$r\equiv 1,4,7(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なら2、$r\equiv 2,5,8(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ なら0である。よって $x_1=x_0^3+1$ の余りは$$0,1,2$$のいずれかである。

(3)
この3状態に写像 $T(r)=r^3+1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}9)$ を作用させると$$0⟼1⟼2⟼0$$となる。したがって連続する $x_1,x_2,x_3$ のうちちょうど1個は9の倍数であり、$$9\mid x_1{x}_2{x}_3\mathrm{.}$$また(1)より $2\mid x_1{x}_2$ である。2と9は互いに素だから$$18\mid x_1{x}_2{x}_3\mathrm{.}$$これで3項すべてが示された。