大阪大学 1994年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
点 $Q=(a,a^3\mathrm{/}\sqrt{3})$ を通る入射直線 $l$ の傾きは $a^2\mathrm{/}\sqrt{3}$、曲線 $C$ の接線の傾きは$${{\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{3}}}\mid }_{x=a}=\sqrt{3}{a}^2$$である。入射方向、接線方向の角をそれぞれ $\varphi ,\tau$ とする。反射後の方向角は $\pi \mathrm{/}2$ であり、接線が二つの方向の角を二等分するから$$2\tau =\varphi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{2\sqrt{3}{a}^2}{1-3a^4}}=\tan 2\tau =-{\displaystyle \frac{1}{\tan \varphi }}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{a^2}}\mathrm{.}$$$a>0$ に注意して整理すると $a^4=1$ である。よって$$a=1.$$(2)
$a=1$ のとき$$l:y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}},C:y={\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$$0<x<1$ では $x>x^3$ なので、求める面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{3}}})dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$

接線方向ベクトルへの正射影を用いて、入射ベクトルを接線に関して反転する。反射ベクトルの $x$ 成分が $0$ という条件から $a$ を決め、面積は直線と三次曲線の差を表示積分で求める。

(1)
入射方向と接線方向のベクトルをそれぞれ$$\vec{u}=(1,{\displaystyle \frac{a^2}{\sqrt{3}}}),\vec{v}=(1,\sqrt{3}{a}^2)$$とする。接線を鏡とみた反射後の方向は$$\vec{w}=2{\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}}\vec{v}-\vec{u}$$で与えられる。反射後が $y$ 軸に平行になるための必要十分条件は、$\vec{w}$ の $x$ 成分が $0$ となることである。$$\vec{u}\cdot \vec{v}=1+a^4,\vec{v}\cdot \vec{v}=1+3a^4$$だから、$$2{\displaystyle \frac{1+a^4}{1+3a^4}}-1=0.$$これを整理すると $a^4=1$ であり、$a>0$ より$$a=1$$を得る。このとき $\vec{w}$ の $y$ 成分は正なので、進行方向も条件に合う。

(2)
$a=1$ のとき$$l:y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}},C:y={\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$$0<x<1$ では直線が曲線の上にあるから、面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1({\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{x^3}{\sqrt{3}}})dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}{[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}]}_0^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{4\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{12}}\mathrm{.}}\end{array}$$