大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

連続する整数の個数を $n=b-a+1$ とおく。条件 $a<b$ より $n\geqq 2$ である。また $a+(a+1)+\cdots +b=500$ であり、項数は $n$、初項は $a$、末項は $b=a+n-1$ だから $${\displaystyle \frac{n\{a+(a+n-1)\}}{2}}=500$$ である。すなわち $n(2a+n-1)=1000$ である。よって $n$ は1000の正の約数であり、さらに $$2a={\displaystyle \frac{1000}{n}}-n+1$$ が正の偶数でなければならない。 $1000=2^3\cdot 5^3$ なので、$n\geqq 2$ で $n\mid 1000$ となる候補は $2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,125,200,250,500,1000$ である。ここで $$2a={\displaystyle \frac{1000}{n}}-n+1$$ を調べる。 $n=5$ のとき $2a=200-5+1=196$ なので $a=98$, $b=a+n-1=102$ である。 $n=8$ のとき $2a=125-8+1=118$ なので $a=59$, $b=66$ である。 $n=25$ のとき $2a=40-25+1=16$ なので $a=8$, $b=32$ である。

その他の約数については、$2a$ が奇数になるか、または正でなくなる。例えば $n=2,4,10,20$ では右辺が奇数であり、$n\geqq 40$ では右辺は正でない。したがって条件を満たすものは上の3通りだけである。

よって求める組は $${\displaystyle (a,b)=(8,32),(59,66),(98,102)}$$ である。

項数 $n=b-a+1$ と、初項・末項の和 $m=a+b$ を用いる。条件は$$nm=1000$$となり、$a,b$ が整数であるためには $n,m$ の偶奇が異ならなければならない。$1000=2^3\cdot 5^3$ の奇数の約数だけを調べて候補を絞る。

項数を$$n=b-a+1(n\geqq 2)$$とし、$$m=a+b$$とおく。和が500である条件は$${\displaystyle \frac{nm}{2}}=500,nm=1000.$$また$$a={\displaystyle \frac{m-n+1}{2}},b={\displaystyle \frac{m+n-1}{2}}$$なので、$a,b$ が整数であるためには $m-n$ が奇数、すなわち $m,n$ の偶奇が異なることが必要十分である。

$1000=2^3\cdot 5^3$ である。まず $n$ が奇数なら$$n=1,5,25,125$$を調べればよい。$n=1$ は項数条件に反し、$n=125$ では $m=8$ となって $a<1$ である。残る$$(n,m)=(5,200),(25,40)$$から$$(a,b)=(98,102),(8,32)$$を得る。

次に $m$ が奇数なら $m=1,5,25,125$ である。$a>0$ となるには $m\geqq n$ が必要であり、該当するのは$$(n,m)=(8,125)$$だけである。これから$$(a,b)=(59,66)$$を得る。

以上より$$(a,b)=(8,32),(59,66),(98,102)$$である。