大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

二つの解を $m,n$ とおく。条件 (イ) より、$m,n$ はともに $2$ 以上の整数である。解と係数の関係から $m+n=-a,mn=b$ であるから $a=-(m+n),b=mn$ である。

条件 (ロ) は $3a+2b\leqq 0$ である。これに $a=-(m+n)$、$b=mn$ を代入すると $-3(m+n)+2mn\leqq 0$ すなわち $2mn\leqq 3m+3n\text{(1)}$ となる。 $m,n$ は入れ替えても同じ二次方程式を与えるので、$m\leqq n$ としてよい。$m=2$ のとき、(1) は $4n\leqq 6+3n$ より $n\leqq 6$ である。したがって $n=2,3,4,5,6$ を得る。 $m=3$ のとき、(1) は $6n\leqq 9+3n$ より $n\leqq 3$ である。$m\leqq n$ だから $n=3$ である。 $m\geqq 4$ とする。このとき $n\geqq m$ なので、(1) から $n(2m-3)\leqq 3m$ である一方、左辺は $n(2m-3)\geqq m(2m-3)$ である。したがって $m(2m-3)\leqq 3m$ となり、$m>0$ より $2m-3\leqq 3$、すなわち $m\leqq 3$ となる。これは $m\geqq 4$ に反する。よってこれ以上の解はない。

以上より $(m,n)$ は $(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)$ である。それぞれ $a=-(m+n)$、$b=mn$ に戻すと、求める組は ${\displaystyle (-4,4),(-5,6),(-6,8),(-7,10),(-8,12),(-6,9)}$ である。

根 $m,n$ の不等式を積の形へ変形する。
$(2m-3)(2n-3)\leqq 9$ では両因子が正の奇数なので、
小さな約数の組だけを列挙して係数へ戻す。

2根を $m,n$ とし、$2\leqq m\leqq n$ とする。
解と係数の関係から$$a=-(m+n),b=mn\mathrm{.}$$条件 (ロ) は$$2mn\leqq 3m+3n\mathrm{.}$$両辺を2倍して9を加えると$$(2m-3)(2n-3)\leqq 9.$$2因子は正の奇数で、前者は後者以下である。
$2m-3=1$ なら $m=2$ で$$2n-3\leqq 9⟹n=2,3,4,5,6.$$$2m-3=3$ なら $m=3$ で、順序条件から $n=3$ だけである。
$2m-3\geqq 5$ なら積は25以上となり不可能である。

したがって根の組は$$(m,n)=(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3)\mathrm{.}$$係数へ戻すと$$(a,b)=(-4,4),(-5,6),(-6,8),(-7,10),(-8,12),(-6,9)\mathrm{.}$$