大阪大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

2個の目の和$2,3,\dots ,12$の出方は順に$$1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1$$通りである。
(1)
$M(2)=m(2)$は2回の和が等しい場合である。その確率は$${\displaystyle \frac{2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)+6^2}{{36}^2}}={\displaystyle \frac{73}{648}}\mathrm{.}$$従って$$P(M(2)>m(2))=1-{\displaystyle \frac{73}{648}}={\displaystyle \frac{575}{648}}\mathrm{.}$$(2)
すべての和が5以下である確率から、すべて4以下である確率を引けばよい。1回で5以下は10通り、4以下は6通りだから$$P(M(n)=5)={\left({\displaystyle \frac{5}{18}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)
常に$2\leqq m(n)\leqq 12$である。また$m(n)\geqq 3$となるのは、どの回にも和2が出ない場合なので$$P(m(n)\geqq 3)={\left({\displaystyle \frac{35}{36}}\right)}^n\mathrm{.}$$従って$$0\leqq a_n-2\leqq 10{\left({\displaystyle \frac{35}{36}}\right)}^n\mathrm{.}$$右辺は0へ収束するから、はさみうちにより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=2.$$

2個のサイコロの和の累積分布を使う。(1)(2)は独立試行の積で数える。
(3)は正の整数値確率変数の公式
$E[Y]={\sum }_{r\geqq 1}P(Y\geqq r)$ を有限和として証明的に用い、
すべての余分な項が0へ行くことを示す。

1回の和 $X$ の出方は$$\begin{array}{crrrrrrrrrrr}X& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9& 10& 11& 12\\ \text{通り数}& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 5& 4& 3& 2& 1\end{array}$$である。

(1)

$M(2)=m(2)$ は2回の和が等しい事象であるから$$P(M(2)=m(2))={\displaystyle \frac{2(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)+6^2}{{36}^2}}={\displaystyle \frac{73}{648}}\mathrm{.}$$よって$$P(M(2)>m(2))={\displaystyle \frac{575}{648}}\mathrm{.}$$(2)

1回で和が5以下となる出方は10通り、4以下は6通りなので$$P(M(n)=5)={\left({\displaystyle \frac{5}{18}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)

$m(n)$ は2から12までの整数値を取るので$$E[m(n)]=2+\sum _{r=3}^{12}P(m(n)\geqq r)\mathrm{.}$$ここで $N_r$ を1回の和が $r$ 以上となる出方の数とすると、独立性から$$P(m(n)\geqq r)={\left({\displaystyle \frac{N_r}{36}}\right)}^n\mathrm{.}$$$r\geqq 3$ では $0\leqq N_r\mathrm{/}36<1$ だから各項は0へ収束する。
有限和なので$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=2.$$