大阪大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1) $Y=k$ となる確率は ${\displaystyle \frac{1}{N}}$ である。このとき，各 $X_i$ について $X_i\leqq k$ となる確率は ${\displaystyle \frac{k}{N}}$，$X_i>k$ となる確率は $1-{\displaystyle \frac{k}{N}}$ である。取り出したボールは戻すので，5回の試行は互いに独立に扱える。

5個のうち少なくとも4個が $k$ 以下であるのは，ちょうど4個が $k$ 以下である場合と，5個すべてが $k$ 以下である場合である。したがって$$p(N,k)={\displaystyle \frac{1}{N}}\{{}_5{\mathrm{C}}_4{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^4(1-{\displaystyle \frac{k}{N}})+{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^5\}$$である。すなわち$$p(N,k)={\displaystyle \frac{1}{N}}\{5{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^4(1-{\displaystyle \frac{k}{N}})+{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^5\}$$である。

(2) $Y$ の値で場合分けすれば，求める確率は$$p(N)=\sum _{k=1}^{N}p(N,k)$$である。よって(1)より$$p(N)=\sum _{k=1}^N{\displaystyle \frac{1}{N}}\{5{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^4(1-{\displaystyle \frac{k}{N}})+{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^5\}$$である。

これは区間 $[0,1]$ における関数 $5x^4(1-x)+x^5=5x^4-4x^5$ のリーマン和である。したがって$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(N)={\int }_0^1(5x^4-4x^5)dx$$である。積分すると$${\int }_0^1(5x^4-4x^5)dx={[x^5-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^6]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{3}}$$となる。よって$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(N)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$である。

(1) は条件付き確率を直接数える。(2)は6個の番号に一致がない場合の順位に注目し、$Y$ が最大または2番目に大きいことと条件が同値であることを使う。一致が起こる確率が0へ近づくことも評価する。

(1)
$Y=k$ の確率は $1\mathrm{/}N$ であり、各 $X_i$ が $k$ 以下である確率は $k\mathrm{/}N$ である。よって$$p(N,k)={\displaystyle \frac{1}{N}}\{5{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^4(1-{\displaystyle \frac{k}{N}})+{\left({\displaystyle \frac{k}{N}}\right)}^5\}\mathrm{.}$$(2)
$X_1,\dots ,X_5,Y$ の6個の値を考える。任意の2個が一致する確率は $1\mathrm{/}N$ で、組は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 個だから、一致が少なくとも1組ある確率は高々 $15\mathrm{/}N$ である。したがって $N\to \mathrm{\infty }$ では一致の影響は消える。

一致がない場合、6個の大小順における $Y$ の順位は対称性により6通りが等確率である。少なくとも4個の $X_i$ が $Y$ 以下であることは、$Y$ より大きい $X_i$ が高々1個であること、すなわち $Y$ が最大または2番目に大きいことと同値である。該当する順位は2通りなので$$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }p(N)={\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$これは(1)を $k$ について足した極限とも一致する。