大阪大学 1996年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
直線を$y=mx$とする。円の中心$(a,0)$からこの直線への垂線の足が$R$なので$$R=({\displaystyle \frac{a}{1+m^2}},{\displaystyle \frac{am}{1+m^2}})\mathrm{.}$$従って$${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$$m$が実数の範囲では原点だけは到達しない。よって$D$は直径が原点と$(a,0)$を結ぶ線分である円から原点を除いたもの。
(2)
$D$に原点を加えた小円は$C$の内部にある。第1象限で、$C$の上半円の高さの二乗は$$1-(x-a{)}^2(0\leqq x\leqq a+1),$$小円の上半円では$$ax-x^2(0\leqq x\leqq a)\mathrm{.}$$従って円板法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(a)}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{a+1}\{1-(x-a{)}^2\}dx-\pi {\int }_0^a(ax-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{2}{3}}+a-{\displaystyle \frac{a^3}{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi (1-3a^2\mathrm{/}2)$より、$0<a\leqq 1$では$a=\sqrt{2\mathrm{/}3}$で最大となる。従って$$V_{\max }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}(1+\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})\mathrm{.}$$

弦の方向角を $\varphi$ とし、中点 $R$ は中心から弦へ下ろした垂線の足と見る。
極座標式 $r=a\cos \varphi$ から軌跡を円と判定する。
体積は大円の回転円板から小円の回転円板を引き、最後に1変数微分する。

(1)

原点を通る直線の方向角を $\varphi$ とする。円の中心 $(a,0)$ を
この直線へ正射影した点が $R$ なので、原点から $R$ までの距離は$$r=a\cos \varphi \mathrm{.}$$$x=r\cos \varphi ,y=r\sin \varphi$ より$$x^2+y^2=ax,$$すなわち$${(x-{\displaystyle \frac{a}{2}})}^2+y^2={\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2\mathrm{.}$$有限の傾きでは原点に到達しないので、$D$ はこの円から原点を除いた軌跡である。

(2)

第1象限で大円 $C$ の高さの二乗は$$1-(x-a{)}^2(0\leqq x\leqq a+1),$$小円 $D$ の高さの二乗は$$ax-x^2(0\leqq x\leqq a)\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V(a)}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{a+1}\{1-(x-a{)}^2\}dx-\pi {\int }_0^a(ax-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{2}{3}}+a-{\displaystyle \frac{a^3}{2}})\mathrm{.}}\end{array}$$(3)$$V^{\mathrm{\prime }}(a)=\pi (1-{\displaystyle \frac{3a^2}{2}})\mathrm{.}$$$0<a\leqq 1$ では $$a=\sqrt{2\mathrm{/}3}$$ で増加から減少へ変わるから$$V_{\max }={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}(1+\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})\mathrm{.}$$