大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $X_{n-1}=0$ のとき、箱の中の二つはどちらも黒玉である。取り出した黒玉が白玉に替わるのは、さいころの目が $5$ 以上のときであり、その確率は $2\mathrm{/}6=1\mathrm{/}3$ である。したがって $$P(X_n=1\mid X_{n-1}=0)={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ である。

次に $X_{n-1}=1$ のとき、白玉は一つ、黒玉も一つである。$X_n=1$ のままであるのは、白玉を取り出す場合、または黒玉を取り出してもさいころの目が $4$ 以下の場合である。よって$$P(X_n=1\mid X_{n-1}=1)={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$$である。

(2) $X_n=1$ となるには、直前が $0$ 個で今回 $1$ 個に増えるか、直前が $1$ 個で今回も $1$ 個のままであるかのどちらかである。したがって $$P(X_n=1)={\displaystyle \frac{1}{3}}P(X_{n-1}=0)+{\displaystyle \frac{5}{6}}P(X_{n-1}=1)$$ である。

また、$X_n=0$ であり続けるには、各回で白玉への取り替えが起こらないことが必要十分である。$X_{j-1}=0$ のとき取り替えが起こらない確率は $2\mathrm{/}3$ なので $$P(X_n=0)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$$ である。よって (2) は $${\displaystyle P(X_n=1)={\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{5}{6}}P(X_{n-1}=1)}$$ とも書ける。

(3) $q_n=P(X_n=1)$ とおく。$q_0=0$ であり、(2) より $$q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}+{\displaystyle \frac{5}{6}}{q}_{n-1}$$ である。これを繰り返すと$$q_n=\sum _{j=1}^n{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-j}{\displaystyle \frac{1}{3}}{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{j-1}$$となる。右辺は等比数列の和で、$$q_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n}{{\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}}}=2\{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\}$$である。

したがって $$P(X_n=0)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n,$$ $$P(X_n=1)=2\{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\},$$$$P(X_n=2)=1-P(X_n=0)-P(X_n=1)=1-2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$$である。よって確率分布は$$\begin{array}{cccc}k& 0& 1& 2\\ P(X_n=k)& {\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n& 2\{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\}& 1-2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\end{array}$$である。

(4)

$n$ 回目の試行が終わったときにはじめて白玉が2個になるには、
$n-1$ 回目終了時に白玉が1個で、$n$ 回目に残りの黒玉が白玉へ替わればよい。
$X_{n-1}=1$ のとき、その確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$である。したがって求める確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{6}}P(X_{n-1}=1)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}}\end{array}$$$n=1$ のときも右辺は0となり、実際の事象と一致する。

2個の元の黒玉を区別する。指定した玉が黒のまま残る確率と、
2個とも黒のまま残る確率を求め、包除的に白玉数の分布を出す。
初めて2個になる確率は、状態2が吸収状態であることから分布の差で求める。

(1)

$X_{n-1}=0$ なら必ず黒玉を選び、さいころが5以上のときだけ
$X_n=1$ になるから$$P(X_n=1\mid X_{n-1}=0)={\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$$X_{n-1}=1$ なら、白玉を選ぶ確率 $1\mathrm{/}2$ と、
黒玉を選んで4以下を出す確率 $(1\mathrm{/}2)(2\mathrm{/}3)$ を足して$$P(X_n=1\mid X_{n-1}=1)={\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$(2)

全確率の公式から$$P(X_n=1)={\displaystyle \frac{1}{3}}P(X_{n-1}=0)+{\displaystyle \frac{5}{6}}P(X_{n-1}=1)\mathrm{.}$$(3)

2個の元の黒玉を $A,B$ と区別する。指定した玉が黒である間、
1回の試行で白へ替わる確率は$${\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$よって$$P(A\text{ が }n\text{ 回後も黒})=P(B\text{ が }n\text{ 回後も黒})={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$2個とも黒である間、1回でどちらも黒のまま残る確率は $2\mathrm{/}3$ だから$$P(X_n=0)={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$ちょうど1個が黒、すなわち $X_n=1$ である確率は$$2\{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$残りから$$P(X_n=2)=1-2{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\mathrm{.}$$(4)

状態2は一度到達すると変わらない。したがって初めて $n$ 回目に2個になる確率は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X_n=2)-P(X_{n-1}=2)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}\{{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{n-1}-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}\}\mathrm{.}}\end{array}$$