大阪大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)
座標を $$O=(0,0),Q=(1,0),P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とおく。点 $P$ における円の接線は $$x\cos \theta +y\sin \theta =1$$ である。これと $x$ 軸との交点が $R$ なので $$R=({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }},0)$$ である。

したがって $\mathrm{△}OPR$ の底辺を $OR$、高さを $P$ の $y$ 座標と見ると $$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}\cdot \sin \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta$$ である。

一方、$D$ は扇形 $OPQ$ から直角三角形 $OPH$ を除いた部分である。扇形 $OPQ$ の面積は $\theta \mathrm{/}2$、三角形 $OPH$ の面積は ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sin \theta \cos \theta$ であるから $$S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(\theta -\sin \theta \cos \theta )$$ である。よって$${\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}={\displaystyle \frac{\theta -\sin \theta \cos \theta }{\tan \theta }}={\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{\sin \theta }{\theta }}\cos \theta }{{\displaystyle \frac{\tan \theta }{\theta }}}}$$である。$\theta \to 0$ のとき $\sin \theta \mathrm{/}\theta \to 1$、$\cos \theta \to 1$、$\tan \theta \mathrm{/}\theta \to 1$ なので $${\displaystyle \underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}=0}$$ である。

(2) $\mathrm{△}OPR$ を $OR$ のまわりに回転すると、点 $P$ から $OR$ に下ろした垂線の足 $H$ を境に、二つの円すいに分かれる。共通の底面半径は $PH=\sin \theta$ であり、高さの和は $$OH+HR=OR={\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}$$ である。したがって$$V_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}\cdot {\sin }^2\theta \cdot {\displaystyle \frac{1}{\cos \theta }}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}$$である。

次に $D$ を $OR$、すなわち $x$ 軸のまわりに回転する。$D$ は $\cos \theta \leqq x\leqq 1$ で、上端が円 $$y=\sqrt{1-x^2}$$、下端が $x$ 軸であるから $$V_2=\pi {\int }_{\cos \theta }^1(1-x^2)dx$$ である。計算すると$$V_2=\pi {[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{\cos \theta }^1=\pi ({\displaystyle \frac{2}{3}}-\cos \theta +{\displaystyle \frac{{\cos }^3\theta }{3}})$$である。ここで$${\displaystyle \frac{2}{3}}-\cos \theta +{\displaystyle \frac{{\cos }^3\theta }{3}}={\displaystyle \frac{(1-\cos \theta {)}^2(2+\cos \theta )}{3}}$$である。また $$V_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{(1-\cos \theta )(1+\cos \theta )}{\cos \theta }}$$ である。よって$${\displaystyle \frac{V_2}{{\theta }^2{V}_1}}={\displaystyle \frac{\cos \theta (1-\cos \theta )(2+\cos \theta )}{{\theta }^2(1+\cos \theta )}}$$となる。

さらに$${\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}}={\displaystyle \frac{2{\sin }^2(\theta \mathrm{/}2)}{{\theta }^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\left({\displaystyle \frac{\sin (\theta \mathrm{/}2)}{\theta \mathrm{/}2}}\right)}^2\to {\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。したがって$$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{V_2}{{\theta }^2{V}_1}}=1\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{3}{4}}}$$である。

$u=\cos \theta$ とおき、面積と体積を $u$ の式へ整理する。
面積比は $0\leqq \theta -\sin \theta \cos \theta \leqq \theta (1-\cos 2\theta )$
で直接はさむ。体積比は $1-u$ を因数として標準極限へ帰着する。

$Q=(1,0)$，$$P=(\cos \theta ,\sin \theta )$$ とおく。
接線と $x$ 軸の交点は $R=(1\mathrm{/}\cos \theta ,0)$ である。

(1) $$S_1={\displaystyle \frac{1}{2}}\tan \theta ,S_2={\displaystyle \frac{1}{2}}(\theta -\sin \theta \cos \theta )\mathrm{.}$$$0<x<\theta$ で$$0\leqq 1-\cos 2x\leqq 1-\cos 2\theta$$だから、積分して$$0\leqq \theta -\sin \theta \cos \theta ={\int }_0^{\theta }(1-\cos 2x)dx\leqq \theta (1-\cos 2\theta )\mathrm{.}$$よって$$0\leqq {\displaystyle \frac{S_2}{S_1}}\leqq {\displaystyle \frac{\theta (1-\cos 2\theta )}{\tan \theta }}⟶0.$$(2)

2円すいの体積和から$$V_1={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{{\sin }^2\theta }{\cos \theta }}\mathrm{.}$$また円板法により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V_2}& {\displaystyle =\pi {\int }_{\cos \theta }^1(1-x^2)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{3}}(1-\cos \theta {)}^2(2+\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$${\displaystyle \frac{V_2}{{\theta }^2{V}_1}}={\displaystyle \frac{\cos \theta (1-\cos \theta )(2+\cos \theta )}{{\theta }^2(1+\cos \theta )}}\mathrm{.}$$$${\displaystyle \frac{1-\cos \theta }{{\theta }^2}}⟶{\displaystyle \frac{1}{2}}$$を用いると$$\underset{\theta \to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{V_2}{{\theta }^2{V}_1}}=1\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}={\displaystyle \frac{3}{4}}\mathrm{.}$$