大阪大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}},p_2={\displaystyle \frac{1}{4}},q_1=0,q_2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(2) 余り1の確率は $1-p_{n-1}-q_{n-1}$ である。最後が裏または表の場合を分けると$$p_n={\displaystyle \frac{p_{n-1}+q_{n-1}}{2}},q_n={\displaystyle \frac{1-p_{n-1}}{2}}\mathrm{.}$$(3) 追加する3投で表が0または3回の確率は $1\mathrm{/}4$、1回と2回の確率は各 $3\mathrm{/}8$ である。したがって$$p_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_{n-3}+{\displaystyle \frac{3}{8}}(1-p_{n-3})={\displaystyle \frac{3-p_{n-3}}{8}}\mathrm{.}$$(4) 便宜上 $p_0=1$ とする。漸化式は$$p_n-{\displaystyle \frac{1}{3}}=-{\displaystyle \frac{1}{8}}(p_{n-3}-{\displaystyle \frac{1}{3}})$$となる。初期値 $p_0=1,p_1=1\mathrm{/}2,p_2=1\mathrm{/}4$ から$$p_{3k}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^k,$$$$p_{3k+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^k,p_{3k+2}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^k\mathrm{.}$$

(1) 〜(3) は余り3状態の遷移で求める。(4) は別確認として
1の3乗根 $\omega$ によるフィルターを使う。
$(1+\omega )\mathrm{/}2=e^{i\pi \mathrm{/}3}\mathrm{/}2$ なので、$p_n$ は余弦を含む閉じた式になり、
$n$ を3で割った余りごとの公式が直ちに出る。

(1) $$p_1={\displaystyle \frac{1}{2}},p_2={\displaystyle \frac{1}{4}},q_1=0,q_2={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(2)
最後の一投で場合分けして$$p_n={\displaystyle \frac{p_{n-1}+q_{n-1}}{2}},q_n={\displaystyle \frac{1-p_{n-1}}{2}}\mathrm{.}$$(3)
追加3投の表の枚数を3で分類すると$$p_n={\displaystyle \frac{1}{4}}{p}_{n-3}+{\displaystyle \frac{3}{8}}(1-p_{n-3})={\displaystyle \frac{3-p_{n-3}}{8}}\mathrm{.}$$(4)$${\omega }^3=1,\omega \mathrm{\ne }1$$ とすると、3乗根フィルターより$$p_n={\displaystyle \frac{1}{3}}\{1+{\left({\displaystyle \frac{1+\omega }{2}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1+{\omega }^2}{2}}\right)}^n\}={\displaystyle \frac{1}{3}}\{1+{\displaystyle \frac{2}{2^n}}\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{3}}\}\mathrm{.}$$$n=3k,3k+1,3k+2$ を代入して$$p_{3k}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^k,$$$$p_{3k+1}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^k,p_{3k+2}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{12}}{(-{\displaystyle \frac{1}{8}})}^k\mathrm{.}$$