大阪大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

袋 $B$ から数字 $x_i$ の玉を取り出したとする。このとき袋 $A$ には，$x_i$ より大きい数字が $n-x_i$ 個，小さい数字が $x_i-1$ 個ある。したがって一般に$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i=1}^m{\displaystyle \frac{n-x_i}{n}}={\displaystyle \frac{mn-\sum _{i=1}^m{x}_i}{mn}},}\\ {\displaystyle q}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{m}}\sum _{i=1}^m{\displaystyle \frac{x_i-1}{n}}={\displaystyle \frac{\sum _{i=1}^m{x}_i-m}{mn}}\mathrm{.}}\end{array}$$(1) $m=2$ を代入すると$$p={\displaystyle \frac{2n-x_1-x_2}{2n}},q={\displaystyle \frac{x_1+x_2-2}{2n}}\mathrm{.}$$(2) $m=n$ のとき，上の一般式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p=q}& {\displaystyle ⟺n^2-\sum _{i=1}^n{x}_i=\sum _{i=1}^n{x}_i-n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟺\sum _{i=1}^n{x}_i={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって必要十分条件は$$x_1+x_2+\cdots +x_n={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}$$である。

必要十分性と検算

一般式を同値変形したので，得た総和条件は必要かつ十分である。また，数字が等しい確率はどの $x_i$ に対しても ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ だから$$p+q=1-{\displaystyle \frac{1}{n}}\mathrm{.}$$総和条件のもとでは $$p=q={\displaystyle \frac{n-1}{2n}}$$ となり，この関係とも一致する。