大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $G=3$ となるためには，$n$ 回の出目がすべて3の倍数でなければならない。さいころの目で3の倍数は $3,6$ の2つである。ただし，すべての出目が6である場合は最大公約数が6になるので除かなければならない。

したがって，$G=3$ となる出方は $2^n-1$ 通りである。全事象は $6^n$ 通りなので $$P(G=3)={\displaystyle \frac{2^n-1}{6^n}}$$ である。

(2) $G$ の値ごとに出方の数を数える。 $G=6$ となるのは，すべての出目が6のときだけなので1通りである。同様に，$G=5$ となるのはすべて5のときだけ，$G=4$ となるのはすべて4のときだけであり，それぞれ1通りである。

(1) より，$G=3$ となる出方は $2^n-1$ 通りである。

次に $G=2$ を数える。すべての出目が2の倍数，すなわち $2,4,6$ のいずれかでなければならない。この条件を満たす出方は $3^n$ 通りである。ただし，すべて4のときは $G=4$，すべて6のときは $G=6$ になるので除く。よって $$G=2\text{ となる出方は }{3}^n-2\text{ 通り}$$ である。

残りが $G=1$ であるから，その出方の数は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 6^n-(3^n-2)-(2^n-1)-1-1-1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6^n-3^n-2^n}\end{array}$$である。

したがって期待値 $E(G)$ は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(G)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1(6^n-3^n-2^n)+2(3^n-2)+3(2^n-1)+4+5+6}{6^n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6^n+3^n+2^{n+1}+8}{6^n}}}\end{array}$$である。よって $$E(G)={\displaystyle \frac{6^n+3^n+2^{n+1}+8}{6^n}}$$ である。

「全てが倍数」を数えて，より大きな最大公約数になる定数列を除く。

「全てが各整数の倍数である出方」から，より大きな最大公約数の出方を上から順に除く。最大公約数ごとの個数を得て期待値へ代入する。

(1) 全ての出目が3または6である $2^n$ 通りから，全て6である1通りを除く。したがって$$P(G=3)={\displaystyle \frac{2^n-1}{6^n}}\mathrm{.}$$(2) $N_d$ を「すべての出目が $d$ の倍数である出方の数」とする。すると $$N_1=6^n,N_2=3^n,N_3=2^n,N_4=N_5=N_6=1$$ である。最大公約数がちょうど $d$ である出方の数を $M_d$ とすると，上から順に$$M_6=1,M_5=1,M_4=1,M_3=N_3-M_6=2^n-1,M_2=N_2-M_4-M_6=3^n-2$$であり，$M_1=6^n-3^n-2^n$ となる。これを ${\displaystyle \frac{M_1+2M_2+3M_3+4M_4+5M_5+6M_6}{6^n}}$ に代入しても，同じ期待値 ${\displaystyle \frac{6^n+3^n+2^{n+1}+8}{6^n}}$ を得る。