大阪大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$P=({\displaystyle \frac{t+1\mathrm{/}t}{2}},{\displaystyle \frac{t+1\mathrm{/}t}{2}}),Q=-P\mathrm{.}$$したがって $QA$ の傾きは$$m={\displaystyle \frac{1\mathrm{/}t+(t+1\mathrm{/}t)\mathrm{/}2}{t+(t+1\mathrm{/}t)\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{t^2+3}{3t^2+1}}\mathrm{.}$$(2) $r=t^2$ とおく。ray $AP$ の方向角は $-\pi \mathrm{/}4$、ray $AR$ の方向角を $\varphi$ とすれば $\tan \varphi =m$ である。曲線の接線の傾きは $-1\mathrm{/}{t}^2$ だから、それに垂直な二等分線の傾きは $r$ である。$0<\psi <\pi \mathrm{/}2$，$\tan \psi =r$ となる角 $\psi$ をとる。二等分条件より$${\displaystyle \frac{\varphi -\pi \mathrm{/}4}{2}}=\psi ,m=\tan (2\psi +{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\mathrm{.}$$倍角公式を用いて(1)の値と等置すると$${\displaystyle \frac{r+3}{3r+1}}={\displaystyle \frac{1-r^2+2r}{1-r^2-2r}}\mathrm{.}$$整理して$$r^3-5r^2-5r+1=(r+1)(r^2-6r+1)=0.$$$0<r<1$ と角の配置を満たす解は$$t^2=r=3-2\sqrt{2}$$である。

(1) は正射影で $P,Q$ を求める。(2) では接線に垂直な二等分線の傾きを
$r=t^2$ とし、直線 $AP$・二等分線・直線 $AR$ の傾きのなす角を
傾きの差の公式で比較する。角そのものを未知数にしない代数解法である。

(1) $$P=({\displaystyle \frac{t+1\mathrm{/}t}{2}},{\displaystyle \frac{t+1\mathrm{/}t}{2}}),Q=-P\mathrm{.}$$よって直線 $QA$ の傾きは$$m={\displaystyle \frac{t^2+3}{3t^2+1}}\mathrm{.}$$(2)
$r=t^2$ とおく。曲線の接線の傾きは $-1\mathrm{/}r$ なので、
それに垂直な二等分線の傾きは $r$ である。
ray $AP$ の傾きは $-1$、ray $AR$ の傾きは $m$。
二等分条件を傾きのなす角の正接で表すと$${\displaystyle \frac{r+1}{1-r}}={\displaystyle \frac{m-r}{1+mr}}\mathrm{.}$$$m=(r+3)\mathrm{/}(3r+1)$ を代入して整理すると$$(r+1)(r^2-6r+1)=0.$$$0<r<1$ より$$t^2=r=3-2\sqrt{2}\mathrm{.}$$