大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第3問

(1) $A$ が $k$ 投目で勝つには、$A$ のそれ以前の $k-1$ 回の投球と、$B$ のそれ以前の $k-1$ 回の投球で、どちらも1を出していない必要がある。その確率は ${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{2(k-1)}$ である。そのうえで、$A$ の $k$ 投目に1が出ればよいので、$${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^{2(k-1)}{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^{k-1}$$である。

(2) $A$ が勝つのは、$A$ の1投目、2投目、$\dots$、$n$ 投目のいずれかで初めて1を出す場合である。したがって$$P_n=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{1}{6}}{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^{k-1}$$である。これは初項 $1\mathrm{/}6$、公比 $25\mathrm{/}36$ の等比数列の和なので、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1-{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n}{1-{\displaystyle \frac{25}{36}}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6}{11}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n\}}\end{array}$$である。

(3) $P_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ は $${\displaystyle \frac{6}{11}}\{1-{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n\}>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ と同値である。整理すると $$1-{\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n>{\displaystyle \frac{11}{12}}$$ すなわち $${\left({\displaystyle \frac{25}{36}}\right)}^n<{\displaystyle \frac{1}{12}}$$ である。

常用対数をとる。$0<25\mathrm{/}36<1$ なので、対数をとると $$n{\log }_{10}{\displaystyle \frac{25}{36}}<-{\log }_{10}12$$ である。与えられた値から $${\log }_{10}5=1-{\log }_{10}2=0.6990$$ であり、$${\log }_{10}6={\log }_{10}2+{\log }_{10}3=0.7781$$ である。したがって$${\log }_{10}{\displaystyle \frac{25}{36}}=2{\log }_{10}5-2{\log }_{10}6=2(0.6990)-2(0.7781)=-0.1582$$である。また $${\log }_{10}12={\log }_{10}3+2{\log }_{10}2=0.4771+0.6020=1.0791$$ である。

よって $$n>{\displaystyle \frac{1.0791}{0.1582}}$$ である。実際に $$6\cdot 0.1582=0.9492<1.0791,7\cdot 0.1582=1.1074>1.0791$$ だから、最小の $n$ は $7$ である。

一巡ごとの確率構造

1巡を「$A$ も $B$ も1を出さない」事象としてまとめる。各巡の生存確率は $25\mathrm{/}36$，その直後に $A$ が勝つ確率は $1\mathrm{/}6$ なので，打切りまでの再帰式を作る。最後は6回では不足し7回なら十分であることを対数で直接比較する。

(1)
1巡で $A,B$ の双方が1を出さない確率を$$q={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{36}}$$とする。$A$ の $k$ 投目の直前までゲームが続く確率は $q^{k-1}$ であり，そこで $A$ が1を出す確率は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ だから$$\mathrm{Pr}(A\text{ が }k\text{ 投目で勝つ})={\displaystyle \frac{1}{6}}{q}^{k-1}\mathrm{.}$$(2)
また，$P_0=0$ とすれば$$P_n=P_{n-1}+{\displaystyle \frac{1}{6}}{q}^{n-1}\mathrm{.}$$この差分を加えると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{6}}(1+q+\cdots +q^{n-1})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6}{11}}(1-q^n)\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$P_n>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ は $q^n<{\displaystyle \frac{1}{12}}$ と同値である。与えられた対数から$$-{\log }_{10}q=0.1582,{\log }_{10}12=\mathrm{1.0791.}$$そこで$$6(0.1582)=0.9492<1.0791<1.1074=7(0.1582)$$である。よって6回では足りず7回なら条件を満たすから，$$n=7$$である。