大阪大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

放物線を $f(x)=-x^2+2x+1$ とおく。$x$ 軸との交点は $-x^2+2x+1=0$ より $$a=1-\sqrt{2},b=1+\sqrt{2}$$ である。

直線 $y=mx$ との交点の $x$ 座標 $\alpha ,\beta$ は $-x^2+2x+1=mx$ すなわち $x^2+(m-2)x-1=0$ の2解である。したがって $$\alpha \beta =-1,\beta =-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$ であり、$\alpha <0<\beta$ である。また $\alpha +\beta =2-m$ だから $$m=2-\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$ である。$m=0$ のときは $\alpha =a$、$\beta =b$ であり、問題では $m\mathrm{\ne }0$ である。

まず $m>0$ の場合を考える。このとき $\alpha <a<0<\beta <b$ である。左側の面積を $S_L$、右側の面積を $S_R$ とすると$$S_L={\int }_{\alpha }^a\{f(x)-mx\}dx+{\int }_a^0(-mx)dx$$であり、$$S_R={\int }_0^{\beta }mxdx+{\int }_{\beta }^{b}f(x)dx$$である。

ここで $$\beta =-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$、$$m=2-\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$ を代入して整理すると$$S_L-S_R=-{\displaystyle \frac{{\alpha }^6+3{\alpha }^4+16\sqrt{2}{\alpha }^3+3{\alpha }^2+1}{6{\alpha }^3}}$$となる。したがって $S_L=S_R$ となるためには $${\alpha }^6+3{\alpha }^4+16\sqrt{2}{\alpha }^3+3{\alpha }^2+1=0$$ であればよい。この左辺は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle {\alpha }^6+3{\alpha }^4+16\sqrt{2}{\alpha }^3+3{\alpha }^2+1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha -1+\sqrt{2})(\alpha +1+\sqrt{2})\{({\alpha }^2-\sqrt{2}\alpha +1{)}^2+6{\alpha }^2\}}\end{array}$$と因数分解できる。最後の因子は常に正である。$m>0$ では $\alpha <a=1-\sqrt{2}$ なので、許される根は $\alpha =-(1+\sqrt{2})$ だけである。このとき$$\begin{array}{rl}{\displaystyle m}& {\displaystyle =2-\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+(1+\sqrt{2})-{\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2+1+\sqrt{2}-(\sqrt{2}-1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4.}\end{array}$$次に $m<0$ の場合を考える。このとき $a<\alpha <0<b<\beta$ である。面積は$$S_L={\int }_a^{\alpha }f(x)dx+{\int }_{\alpha }^{0}mxdx$$および$$S_R={\int }_0^b(-mx)dx+{\int }_b^{\beta }\{f(x)-mx\}dx$$である。同じく $$\beta =-{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$、$$m=2-\alpha +{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$$ を用いると$$S_L-S_R={\displaystyle \frac{{\alpha }^6+3{\alpha }^4+16\sqrt{2}{\alpha }^3+3{\alpha }^2+1}{6{\alpha }^3}}$$となる。等面積条件から同じ方程式を得るが、その実数根のうち最後の正因子以外から出るものは $$\alpha =1-\sqrt{2},\alpha =-(1+\sqrt{2})$$ である。前者は $m=0$ に対応し、後者は $a<\alpha <0$ を満たさない。したがって $m<0$ では解はない。

以上より、求める値は $m=4$ である。

負の交点を $\alpha =-u$、$x$ 軸との負の交点を $-c$ と置く。2つの面積を直接積分すると、奇関数 $g(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x$ を用いた距離にまとまる。等積条件を $h(u)=g(u)+g({\displaystyle \frac{1}{u}})$ の方程式へ変え、その単調性と対称性で解を絞る。

放物線と $x$ 軸との交点は$$a=1-\sqrt{2},b=1+\sqrt{2}\mathrm{.}$$$c=\sqrt{2}-1$ とおけば $a=-c$、$b=c^{-1}$ である。

直線との交点を $\alpha =-u$、$\beta =u^{-1}$ とおく。ここで $u>0$ である。解と係数の関係から$$\alpha \beta =-1,m=2+u-{\displaystyle \frac{1}{u}}\mathrm{.}$$$m=0$ は $u=c$ に対応する。$$g(x)={\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x$$とおく。各領域を放物線と線分の上下関係に従って積分し、上の $m$ を代入すると$$2S_{\mathrm{L}}=\mathrm{\mid }g(u)-g(c)\mathrm{\mid },2S_{\mathrm{R}}=\mid g\left({\displaystyle \frac{1}{u}}\right)-g\left({\displaystyle \frac{1}{c}}\right)\mid \mathrm{.}$$たとえば $u>c$、すなわち $m>0$ では$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{\mathrm{L}}}& {\displaystyle ={\int }_{-u}^{-c}\{(-x^2+2x+1)-mx\}dx{\int }_{-c}^0(-mx)dx,}\\ {\displaystyle S_{\mathrm{R}}}& {\displaystyle ={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{u}}}mxdx{\int }_{{\displaystyle \frac{1}{u}}}^{{\displaystyle \frac{1}{c}}}(-x^2+2x+1)dx,}\end{array}$$を整理すれば上式になる。$u<c$ でも絶対値を付けた同じ式が成り立つ。

したがって等積条件は$$h(u)=h(c),h(x)=g(x)+g\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$$である。微分すると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{(x^2-1)(x^2+1{)}^2}{x^4}}\mathrm{.}$$ゆえに $h$ は $(0,1)$ で減少し、$(1,\mathrm{\infty })$ で増加する。また $h(x)=h(x^{-1})$ である。$0<c<1$ だから $h(u)=h(c)$ の正の解は$$u=c,u={\displaystyle \frac{1}{c}}=1+\sqrt{2}$$だけである。前者は $m=0$ なので除き、後者を代入すると$$m=2+(1+\sqrt{2})-(\sqrt{2}-1)=4.$$よって求める値は$$m=4$$である。