大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$$a=\sqrt{n},b=\sqrt{n+1}$$ とおく。また $$x=n+u(0\leqq u\leqq 1)$$ とおく。このとき曲線 $C$ 上の点の $y$ 座標は $\sqrt{x}$ であり，その2乗は $$x=n+u=(1-u)n+u(n+1)=(1-u)a^2+u{b}^2$$ である。

一方，弦 $l$ 上の $y$ 座標は，両端の値を一次補間して $(1-u)a+ub$ である。$$y=\sqrt{x}$$ は上に凸であり，この弦はグラフの下側にある。したがって回転体の体積は$$V=\pi {\int }_0^1\{(1-u)a^2+u{b}^2-((1-u)a+ub{)}^2\}du$$である。

ここで中身を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (1-u)a^2+u{b}^2-((1-u)a+ub{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(1-u)a^2+u{b}^2-((1-u{)}^2{a}^2+2u(1-u)ab+u^2{b}^2)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-u)a^2+u(1-u)b^2-2u(1-u)ab}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =u(1-u)(b-a{)}^2}\end{array}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi (b-a{)}^2{\int }_0^{1}u(1-u)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{6}}(b-a{)}^2}\end{array}$$である。すなわち$$V={\displaystyle \frac{\pi }{6}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}^2={\displaystyle \frac{\pi }{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}{)}^2}}$$である。

したがって$${\displaystyle \frac{n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}{)}^2}}⟶{\displaystyle \frac{1}{4}}$$より$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }nV={\displaystyle \frac{\pi }{24}}$$である。

また $V$ は ${\displaystyle \frac{\pi }{24n}}$ と同じ程度で小さくなるので，$n^{a}V$ が正の有限値に収束するには $a=1$ でなければならない。よって $$a=1,b={\displaystyle \frac{\pi }{24}}$$ である。

各 $x$ で「外半径の2乗−内半径の2乗」を積分する。