大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

任意の実数 $y$ に対して $y-1<[y]\leqq y$ が成り立つ。ここで $$y=\sqrt{2n^2-k^2}=n\sqrt{2-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}$$ とおくと$$n\sqrt{2-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}-1<[\sqrt{2n^2-k^2}]\leqq n\sqrt{2-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}$$である。これを $n^2$ で割って $k=1,2,\dots ,n$ について足し合わせると$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\sqrt{2-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}-{\displaystyle \frac{1}{n}}<a_n\leqq {\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\sqrt{2-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}$$となる。

右端の和は、連続関数 $\sqrt{2-x^2}$ の区間 $[0,1]$ におけるリーマン和である。したがって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n\sqrt{2-{\left({\displaystyle \frac{k}{n}}\right)}^2}\to {\int }_0^1\sqrt{2-x^2}dx$$である。また左右の差は $1\mathrm{/}n$ で0に近づくので、はさみうちにより $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\int }_0^1\sqrt{2-x^2}dx$$ である。

この積分を計算する。$x=\sqrt{2}\sin \theta$ とおくと、$x=0$ のとき $\theta =0$、$x=1$ のとき $\theta =\pi \mathrm{/}4$ である。また $$dx=\sqrt{2}\cos \theta d\theta ,\sqrt{2-x^2}=\sqrt{2}\cos \theta$$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{2-x^2}dx}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}2{\cos }^2\theta d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi \mathrm{/}4}(1+\cos 2\theta )d\theta }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\theta +{\displaystyle \frac{1}{2}}\sin 2\theta ]}_0^{\pi \mathrm{/}4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}}\end{array}$$である。

よって $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ である。

和を格子点の個数として読み替える。
半径 $\sqrt{2}n$ の円内で $1\leqq k\leqq n$ にある第1象限格子点を数え、
$n$ 倍して得る細格子の領域面積へ帰着する。極限の面積は扇形と三角形に分ける。

$$N_n=\sum _{k=1}^n\left[\sqrt{2n^2-k^2}\right]$$とおく。これは整数格子点 $(k,j)$ で$$1\leqq k\leqq n,1\leqq j,k^2+j^2\leqq 2n^2$$を満たすものの個数である。座標を $n$ で割ると、幅 $1\mathrm{/}n$ の正方格子で$$\mathcal{R}=\{(x,y)\mid 0\leqq x\leqq 1,0\leqq y\leqq \sqrt{2-x^2}\}$$を内側から数えている。円弧と2本の線分からなる境界に接する小正方形は
$O(n)$ 個であり、その総面積は $O(1\mathrm{/}n)$ だから$${\displaystyle \frac{N_n}{n^2}}⟶\mathrm{Area}(\mathcal{R})\mathrm{.}$$左辺は $a_n$ である。

領域 $\mathcal{R}$ を見ると、原点を中心、半径 $\sqrt{2}$、中心角
$\pi \mathrm{/}4$ の扇形と、底辺・高さがともに1の直角三角形に分かれる。
従って$$\mathrm{Area}(\mathcal{R})={\displaystyle \frac{1}{2}}(\sqrt{2}{)}^2\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$ゆえに$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\mathrm{.}$$