大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$ とおく。このとき $${\int }_x^{2}f(t)dt={\int }_0^{2}f(t)dt-F(x)$$ である。

まず $f(x)$ を区間ごとに書く。$0\leqq x\leqq 1$ では $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=1-x$ なので $f(x)=x-2+3(1-x)=1-2x$ である。したがって $$F(x)={\int }_0^x(1-2t)dt=x-x^2(0\leqq x\leqq 1)$$ である。

次に $1\leqq x\leqq 2$ では $\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }=x-1$ なので $f(x)=x-2+3(x-1)=4x-5$ である。さらに $F(1)=1-1=0$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle =F(1)+{\int }_1^x(4t-5)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[2t^2-5t]}_1^x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2x^2-5x+3}\end{array}(1\leqq x\leqq 2)$$である。特に $${\int }_0^{2}f(t)dt=F(2)=1$$ であるから $g(x)=\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1-F(x)\mathrm{\mid }$ となる。

ここで $F(x)$ の値域を調べる。$0\leqq x\leqq 1$ では $F(x)=x-x^2=x(1-x)$ なので $$0\leqq F(x)\leqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。$1\leqq x\leqq 2$ では $F(x)=2x^2-5x+3$ であり、これは上に開く2次関数である。頂点は $x={\displaystyle \frac{5}{4}}$ で、その値は$$F\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)=2\cdot {\displaystyle \frac{25}{16}}-5\cdot {\displaystyle \frac{5}{4}}+3={\displaystyle \frac{25}{8}}-{\displaystyle \frac{25}{4}}+3=-{\displaystyle \frac{1}{8}}$$である。また $F(1)=0$、$F(2)=1$ だから、この区間での最大値は1である。

以上より、$0\leqq x\leqq 2$ において $$-{\displaystyle \frac{1}{8}}\leqq F(x)\leqq 1$$ である。$0\leqq F(x)\leqq 1$ のときは $g(x)=F(x)+1-F(x)=1$ である。一方、$F(x)<0$ のときは $$g(x)=-F(x)+1-F(x)=1-2F(x)$$ である。したがって $g(x)$ は $F(x)$ が最小になるとき最大となり、$$\max g(x)=1-2(-{\displaystyle \frac{1}{8}})={\displaystyle \frac{5}{4}}$$ である。この最大値は $x=5\mathrm{/}4$ のときに実現する。

2つの積分を区間ごとに直接書き、累積積分が負になる区間だけを抽出する。
$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1-u\mathrm{\mid }$ は $0\leqq u\leqq 1$ なら1、$u<0$ なら
$1-2u$ であるため、負の区間の二次式を平方完成すればよい。

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$とおく。絶対値を $x=1$ で分けて積分すると$$F(x)=\{\begin{array}{ll}x-x^2& 0\leqq x\leqq 1,\\ 2x^2-5x+3& 1\leqq x\leqq 2.\end{array}$$また $F(2)=1$ なので$$g(x)=\mathrm{\mid }F(x)\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1-F(x)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$$0\leqq x\leqq 1$ では $0\leqq F(x)\leqq 1\mathrm{/}4$ だから $g(x)=1$ である。
$1\leqq x\leqq 2$ では$$F(x)=(x-1)(2x-3)\mathrm{.}$$従って $1<x<3\mathrm{/}2$ でだけ $F(x)<0$ となり、この区間では$$g(x)=1-2F(x)\mathrm{.}$$ここで$$F(x)=2{(x-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2-{\displaystyle \frac{1}{8}}$$だから$$g(x)={\displaystyle \frac{5}{4}}-4{(x-{\displaystyle \frac{5}{4}})}^2\mathrm{.}$$よって最大値は $x=5\mathrm{/}4$ のときの$${\displaystyle \frac{5}{4}}$$である。