大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第3問

(1)

1，2，3の目が出たときの移動をA，4の目が出たときの移動をB，5，6の目が出たときの移動をCとする．それぞれの移動は$$A:(x,y)\mapsto (x+1,y),B:(x,y)\mapsto (x,y+1),C:(x,y)\mapsto (x-1,y-1)$$である．また，それぞれの確率は$$P(A)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}},P(B)=a,P(C)=2({\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{a}{2}})={\displaystyle \frac{1}{2}}-a$$である．

1回だけでは原点から$(2,1)$へは移動できないので $p_1=0$ である．2回の場合も，Aを2回出すと$(2,0)$，AとBを1回ずつ出すと$(1,1)$であり，Cを含むと$x$座標または$y$座標がさらに小さくなるため$(2,1)$にはならない．したがって $p_2=0$ である．

3回で$(2,1)$に到達するには，Aを2回，Bを1回，Cを0回出す必要がある．この並べ方は $${\displaystyle \frac{3!}{2!1!}}=3$$ 通りであるから $$p_3=3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2}a={\displaystyle \frac{3a}{4}}$$ である．よって $$p_1=0,p_2=0,p_3={\displaystyle \frac{3a}{4}}$$ である．

(2)

6回のうち，Aが$i$回，Bが$j$回，Cが$h$回出たとする．このとき最終的な座標は $(i-h,j-h)$ である．これが$(2,1)$に等しいので $i-h=2,j-h=1$ であり，さらに回数の合計から $i+j+h=6$ である．前の2式から$i=h+2,j=h+1$なので，合計式に代入して $(h+2)+(h+1)+h=6$ となる．よって $3h+3=6,h=1$ であり，$(i,j,h)=(3,2,1)$ である．

したがって，6回で到達する確率は$${\displaystyle \frac{6!}{3!2!1!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3{a}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)$$である．ここで $${\displaystyle \frac{6!}{3!2!1!}}=60$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_6}& {\displaystyle =60\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}\cdot a^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{15}{2}}{a}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{15}{4}}{a}^2(1-2a)}\end{array}$$である．

(3) $$p_6={\displaystyle \frac{15}{4}}{a}^2(1-2a)$$ であり，定数$15\mathrm{/}4$は最大値を与える$a$に影響しない．したがって $f(a)=a^2(1-2a)$ を$0\leqq a\leqq 1\mathrm{/}2$で最大にすればよい．

微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(a)=2a(1-2a)-2a^2=2a(1-3a)$$ である．したがって増減の候補は $$a=0,a={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ であり，端点$a=1\mathrm{/}2$も調べる．値は$$f(0)=0,f\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)={\displaystyle \frac{1}{9}}(1-{\displaystyle \frac{2}{3}})={\displaystyle \frac{1}{27}},f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=0$$である．よって最大となるのは $$a={\displaystyle \frac{1}{3}}$$ のときである．

3種類の移動

(1) (2)は移動回数の連立条件から求める．(3)では微分を使わず，${\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-a$ の3数に相加相乗平均を適用する．3数の和が常に ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ であるため，等号条件から最大となる $a$ が直接決まる．

(1)

3種類の移動を$$A=(1,0),B=(0,1),C=(-1,-1)$$と書く．それぞれの確率は$$\mathrm{Pr}(A)={\displaystyle \frac{1}{2}},\mathrm{Pr}(B)=a,\mathrm{Pr}(C)={\displaystyle \frac{1}{2}}-a$$である．

1回または2回では $(2,1)$ に到達できないので$$p_1=p_2=0$$である．3回では $A,A,B$ の並べ方3通りだけであるから$$p_3=3{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{2}a={\displaystyle \frac{3a}{4}}$$となる．

(2)

6回について，$A,B,C$ の回数をそれぞれ $i,j,h$ とする．$$i-h=2,j-h=1,i+j+h=6$$を解くと $(i,j,h)=(3,2,1)$ である．したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_6}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{6!}{3!2!1!}}{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^3{a}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{15}{2}}{a}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)\text{である．}}\end{array}$$(3)

$0\leqq a\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$ より$${\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{a}{2}},{\displaystyle \frac{1}{2}}-a$$はすべて0以上で，和は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である．相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a}{2}}+({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)}{3}}\geqq \sqrt[3]{{\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)}$$だから$${\left({\displaystyle \frac{a}{2}}\right)}^2({\displaystyle \frac{1}{2}}-a)\leqq {\left({\displaystyle \frac{1}{6}}\right)}^3$$である．等号成立条件は$${\displaystyle \frac{a}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-a$$であり，これを解くと$$a={\displaystyle \frac{1}{3}}$$となる．よって $p_6$ が最大になるのは $a={\displaystyle \frac{1}{3}}$ のときである．