大阪大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

交点の $x$ 座標は $x^2=x+k$ すなわち $f(x)=x^2-x-k=0$ の根である。2点で交わるためには判別式が正でなければならないので $1+4k>0$ である。

また，$f(x)$ は下に凸で，軸は $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり，これは $-2<x<2$ の範囲に入っている。2根がともに $(-2,2)$ に入るためには，区間の両端で $f(x)>0$ であればよい。実際，軸が区間内にあり判別式が正なら，端点で正であることにより2つの根は端点の内側にある。

端点での値は $$f(-2)=4+2-k=6-k,f(2)=4-2-k=2-k$$ である。したがって $6-k>0,2-k>0$ が必要であり，このうち強い条件は $k<2$ である。判別式の条件と合わせて $-{\displaystyle \frac{1}{4}}<k<2$ である。

(2)

(1) の条件のもとで，$f(x)=x^2-x-k$ の2根を $\alpha <\beta$ とする。このとき $$\beta -\alpha =\sqrt{1+4k}$$ である。また $f(x)<0$ は $\alpha <x<\beta$ で起こり，それ以外では $f(x)>0$ である。

求める3つの部分の面積の和は$$S={\int }_{-2}^2\mathrm{\mid }{x}^2-x-k\mathrm{\mid }dx$$である。まず符号を無視した積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2}^2(x^2-x-k)dx}& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-kx]}_{-2}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k}\end{array}$$である。

次に，$\alpha <x<\beta$ における直線と放物線の間の面積を求める。$$f(x)=(x-\alpha )(x-\beta )$$ だから $$-f(x)=(x-\alpha )(\beta -x)$$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{\alpha }^{\beta }-f(x)dx}& {\displaystyle ={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\beta -\alpha }u\{(\beta -\alpha )-u\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}}\end{array}$$である。

絶対値積分では，根の間の負の部分を正に反転するので，符号なしの全体積分にこの面積を2回加えればよい。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle =({\displaystyle \frac{16}{3}}-4k)+2\cdot {\displaystyle \frac{(\beta -\alpha {)}^3}{6}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k+{\displaystyle \frac{(1+4k{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}}\end{array}$$である。よって $$S={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k+{\displaystyle \frac{(1+4k{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}$$ である。

3領域を別々に追わず，2曲線の差の絶対値として一度に数える。

放物線と直線の差を平方完成し，軸 $x=1\mathrm{/}2$ からの距離で考える。
2根を $1\mathrm{/}2\pm h$ と書けば，交点条件と根の間の面積がともに $h$ だけで表せる。

(1) $$x^2-x-k={(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2-(k+{\displaystyle \frac{1}{4}})$$と平方完成する。2つの交点が存在するためには$$h=\sqrt{k+{\displaystyle \frac{1}{4}}}>0$$でなければならず，交点の $x$ 座標は$${\displaystyle \frac{1}{2}}-h,{\displaystyle \frac{1}{2}}+h$$である。両方が $(-2,2)$ に入る条件は$${\displaystyle \frac{1}{2}}-h>-2,{\displaystyle \frac{1}{2}}+h<2.$$後者の方が強く，$0<h<3\mathrm{/}2$ となる。ゆえに$$-{\displaystyle \frac{1}{4}}<k<2.$$(2)$$u=x-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$とおくと，2曲線の差は $u^2-h^2$ である。根の間で直線が放物線より上にある面積を $A$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle A}& {\displaystyle ={\int }_{-h}^h(h^2-u^2)du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{h}^3\mathrm{.}}\end{array}$$一方，符号を付けた全区間の積分は$${\int }_{-2}^2(x^2-x-k)dx={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k\mathrm{.}$$絶対値を取るには負の部分をもう一度加えるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k+2A}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k+{\displaystyle \frac{8}{3}}{(k+{\displaystyle \frac{1}{4}})}^{3\mathrm{/}2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{3}}-4k+{\displaystyle \frac{(1+4k{)}^{3\mathrm{/}2}}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$