大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学文系）文系数学 第2問

(1) $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=A,\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=B$とおく．三角形$OAB$を考えているので$A>0,B>0$である．点Cは辺OAを$1:2$に内分するから $$\overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{a}$$ である．また定義より $$\overrightarrow{OD}=t\vec{b},t={\displaystyle \frac{A}{2B}}$$ である．

条件$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{OB}$を内積で表すと $$(t\vec{b}-\vec{a})\cdot \vec{b}=0$$ である．したがって $$t\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\vec{a}\cdot \vec{b}$$ であり，$t=A\mathrm{/}(2B)$を代入して $$\vec{a}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{A}{2B}}\cdot B^2={\displaystyle \frac{AB}{2}}$$ を得る．よって$$\cos \mathrm{\angle }AOB={\displaystyle \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{AB\mathrm{/}2}{AB}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$である．三角形の内角なので $\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$ である．

(2)

条件$\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{OA}$より $$({\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{a}-\vec{b})\cdot \vec{a}=0$$ である．したがって $${\displaystyle \frac{1}{3}}{A}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$ すなわち $$\vec{a}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{A^2}{3}}$$ である．一方，(1)で $$\vec{a}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{AB}{2}}$$ を得ているので $${\displaystyle \frac{A^2}{3}}={\displaystyle \frac{AB}{2}}$$ となる．$A>0,B>0$より $$2A=3B,{\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$$ である．したがって $$t={\displaystyle \frac{A}{2B}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{A}{B}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である．

(3)

PがAD上にあることから，実数$u$を用いて$$\overrightarrow{OP}=(1-u)\vec{a}+u\overrightarrow{OD}=(1-u)\vec{a}+ut\vec{b}$$と書ける．またPがBC上にあることから，実数$v$を用いて$$\overrightarrow{OP}=(1-v)\vec{b}+v\overrightarrow{OC}={\displaystyle \frac{v}{3}}\vec{a}+(1-v)\vec{b}$$と書ける． $\vec{a},\vec{b}$は三角形をつくる2辺の方向ベクトルなので平行ではない．したがって係数を比較できる．$t=3\mathrm{/}4$を用いると $$1-u={\displaystyle \frac{v}{3}},{\displaystyle \frac{3}{4}}u=1-v$$ である．第1式から$v=3(1-u)$であり，これを第2式に代入すると $${\displaystyle \frac{3}{4}}u=1-3(1-u)=3u-2$$ となる．よって $${\displaystyle \frac{9}{4}}u=2,u={\displaystyle \frac{8}{9}}$$ である．したがって$$\overrightarrow{OP}=(1-u)\vec{a}+{\displaystyle \frac{3}{4}}u\vec{b}={\displaystyle \frac{1}{9}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{b}$$である．よって $$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{1}{9}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{b}$$ である．

図形の配置

角度と長さ比を内積で求めた後，$\vec{b}=(2,0)$，$\vec{a}=(3\mathrm{/}2,3\sqrt{3}\mathrm{/}2)$ と具体的に座標化する．2直線 $AD,BC$ の交点を座標で求め，最後に $\vec{a},\vec{b}$ の一次結合へ戻す．

(1)

$\vec{b}=(2,0)$，$$\vec{a}=(A\cos \theta ,A\sin \theta )$$ と座標を置く．$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{OB}$ と $t=A\mathrm{/}4$ より，点 $D=(A\mathrm{/}2,0)$ の $x$ 座標は点 $A$ の $x$ 座標に等しい．したがって$$A\cos \theta ={\displaystyle \frac{A}{2}}$$となり$$\theta =\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$$である．

(2)

$\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{OA}$ を座標で書くと，$C=\vec{a}\mathrm{/}3$ への射影条件から$$\vec{a}\cdot \vec{b}={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2}{3}}$$である．一方，$\theta ={60}^{\circ }$ より左辺は $\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ だから$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=3:2,t={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }}{2\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$$となる．

(3)

$\mathrm{\angle }AOB={60}^{\circ }$，$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }:\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=3:2$ を使って座標を置く．たとえば $$\vec{b}=(2,0),\vec{a}=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}})$$ としてよい．このとき$$D={\displaystyle \frac{3}{4}}\vec{b}=({\displaystyle \frac{3}{2}},0),C={\displaystyle \frac{1}{3}}\vec{a}=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$$である．直線ADは$x=3\mathrm{/}2$であり，直線BC上の点は $(2,0)+s(-{\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$ と表せる．これが$x=3\mathrm{/}2$を満たすには$s=1\mathrm{/}3$であるから $$P=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}})$$ である．これを$\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$とおくと，$y$座標から$$\lambda \cdot {\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},\lambda ={\displaystyle \frac{1}{9}}$$であり，$x$座標から $${\displaystyle \frac{1}{9}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}+2\mu ={\displaystyle \frac{3}{2}},\mu ={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ となる．よって同じく $$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{1}{9}}\vec{a}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\vec{b}$$ を得る．