大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

与えられた等式は $${\displaystyle (\frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1)l=2}$$ である。$l\geqq 3$ であり右辺は正なので，括弧内は正である。すなわち $${\displaystyle \frac{n}{m}-\frac{n}{2}+1>0}$$ である。これを整理すると $${\displaystyle 1-n(\frac{1}{2}-\frac{1}{m})>0}$$ であり，$${\displaystyle 1-\frac{n(m-2)}{2m}>0}$$ となる。よって $${\displaystyle n<\frac{2m}{m-2}=2+\frac{4}{m-2}}$$ である。 $n\geqq 3$ だから $${\displaystyle 3<2+\frac{4}{m-2}}$$ が必要である。したがって $${\displaystyle 1<\frac{4}{m-2},m-2<4}$$ より $m<6$ である。$m\geqq 3$ なので $m=3,4,5$ に限られる。

各場合を調べる。 $m=3$ のとき，$${\displaystyle n<\frac{2\cdot 3}{3-2}=6}$$ なので $n=3,4,5$ である。括弧内は $${\displaystyle \frac{n}{3}-\frac{n}{2}+1=1-\frac{n}{6}=\frac{6-n}{6}}$$ であるから $${\displaystyle l=\frac{2}{(6-n)\mathrm{/}6}=\frac{12}{6-n}}$$ となる。したがって $$(n,l)=(3,4),(4,6),(5,12)$$ である。 $m=4$ のとき，$${\displaystyle n<\frac{8}{2}=4}$$ だから $n=3$ のみである。このとき括弧内は $${\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{4}}$$ なので $l=8$ である。 $m=5$ のとき，$${\displaystyle n<\frac{10}{3}}$$ だから $n=3$ のみである。このとき括弧内は $${\displaystyle \frac{3}{5}-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{10}}$$ なので $l=20$ である。

以上より求める組は $$(l,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3)$$ である。

$d=m-2$ とおき、括弧内の分子を $4-(n-2)d$ と表す。これが正の整数なので $(n-2)d\leqq 3$ となり、候補を直ちに列挙できる。

与式を通分すると$$\left\{\frac{2m-n(m-2)}{2m}\right\}l=2.$$$d=m-2$ とおけば $d\geqq 1$、$m=d+2$ であり$$2m-n(m-2)=4-(n-2)d\mathrm{.}$$右辺が正でなければならないから$$1\leqq 4-(n-2)d,(n-2)d\leqq 3.$$$n-2,d$ はともに正の整数なので、可能な $(d,n-2)$ は$$(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$$だけである。

各場合に$$l=\frac{4m}{4-(n-2)d}$$を計算すると、順に$$(l,m,n)=(4,3,3),(6,3,4),(12,3,5),(8,4,3),(20,5,3)$$を得る。いずれも3以上の整数であり、もとの式を満たす。