大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

半径3の球 $T_1$ の中心を $O_1$，半径1の球 $T_2$ の中心を $O_2$ とする。$T_1$ と $T_2$ は内接しているので $O_1{O}_2=3-1=2$ である。

半径1の球 $S$ の中心を $X$ とする。条件(A)より，$S$ が $T_1$ の内部にあるか内接するためには $O_{1}X\leqq 3-1=2$ であることが必要十分である。

また条件(B)より，$S$ が $T_2$ の外部にあるか外接するためには $O_{2}X\geqq 1+1=2$ であることが必要十分である。

したがって $D$ は，中心 $O_1$，半径2の球のうち，中心 $O_2$，半径2の球の内部を除いた部分である。ただし境界は体積に影響しない。

半径2の2つの球の中心間距離は2である。共通部分は，2つの合同な球冠からなる。2つの中心のちょうど中間の平面が共通部分を二等分し，各球における球冠の高さは $${\displaystyle 2-\frac{2}{2}=1}$$ である。

半径 $R$，高さ $h$ の球冠の体積は ${\displaystyle \frac{\pi h^2(3R-h)}{3}}$ である。ここでは $R=2$，$h=1$ だから，1つの球冠の体積は $${\displaystyle \frac{\pi \cdot 1^2(3\cdot 2-1)}{3}=\frac{5\pi }{3}}$$ である。よって2球の共通部分の体積は $${\displaystyle 2\cdot \frac{5\pi }{3}=\frac{10\pi }{3}}$$ である。

中心 $O_1$，半径2の球の体積は $${\displaystyle \frac{4}{3}\pi \cdot 2^3=\frac{32\pi }{3}}$$ だから，求める体積は $${\displaystyle \frac{32\pi }{3}-\frac{10\pi }{3}=\frac{22\pi }{3}}$$ である。

中心が動ける領域の断面

半径2の青い球から、中心距離2の橙の球との共通部分を除く。

2球の中心を $x$ 軸上に置き、各 $x$ における断面を円板または円環として表す。断面の形が変わる $x=0,1$ で積分区間を分ける。

$O_1$ を原点，$O_2$ を $x$ 軸上の点 $(2,0,0)$ に置く。$X=(x,y,z)$ とし，$r^2=y^2+z^2$ とおくと，条件は $x^2+r^2\leqq 4,(x-2{)}^2+r^2\geqq 4$ である。 $-2\leqq x\leqq 0$ では第2条件は自動的に満たされるので，断面積は $\pi (4-x^2)$ である。$0\leqq x\leqq 1$ では外側の円板から内側の円板を除くので，断面積は $$\pi \{(4-x^2)-[4-(x-2{)}^2]\}=4\pi (1-x)$$ である。$1<x\leqq 2$ では第2条件を満たす点はない。

したがって体積は$${\int }_{-2}^0\pi (4-x^2)dx+{\int }_0^{1}4\pi (1-x)dx$$であり，$$\pi {[4x-\frac{x^3}{3}]}_{-2}^0+4\pi {[x-\frac{x^2}{2}]}_0^1=\frac{16\pi }{3}+2\pi =\frac{22\pi }{3}$$となる。