大阪大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験（数学理系）理系数学 第3問

$\alpha$は方程式$x^2-2x-1=0$の解なので ${\alpha }^2=2\alpha +1$ を満たす．また$\alpha =1\pm \sqrt{2}$であり，$\sqrt{2}$は無理数だから$\alpha$も無理数である．

与えられた式の左辺を展開すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (a+5\alpha )(b+5c\alpha )}& {\displaystyle =ab+5ac\alpha +5b\alpha +25c{\alpha }^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =ab+25c(2\alpha +1)+(5ac+5b)\alpha }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =ab+25c+(5ac+5b+50c)\alpha }\end{array}$$である．これが1に等しいので $$ab+25c+(5ac+5b+50c)\alpha =1$$ である．

ここで，もし $X+Y\alpha =0$ を満たす有理数$X,Y$があり$Ye0$なら，$\alpha =-X\mathrm{/}Y$となって$\alpha$が有理数になってしまう．したがって$\alpha$の係数と定数部分を比較できる．よって $$ab+25c=1,5ac+5b+50c=0$$ であり，後者は $ac+b+10c=0$ すなわち $b=-c(a+10)$ である．

これを$ab+25c=1$に代入すると $a\{-c(a+10)\}+25c=1$ となる．よって $c(25-a^2-10a)=1$ である． $a,c$は整数なので，左辺は整数の積である．したがって $$(c,25-a^2-10a)=(1,1)\text{または}(-1,-1)$$ である．

まず$c=1$の場合，$25-a^2-10a=1$ だから $a^2+10a-24=0$ である．因数分解して $(a-2)(a+12)=0$ となるので $a=2,-12$ である．このとき $b=-(a+10)$ だから，$$a=2\text{ のとき }b=-12,a=-12\text{ のとき }b=2$$ である．

次に$c=-1$の場合，$25-a^2-10a=-1$ だから $a^2+10a-26=0$ である．この判別式は $${10}^2-4\cdot 1\cdot (-26)=204$$ であり，204は平方数ではない．したがって整数解$a$は存在しない．

以上より，求める整数の組は $$(a,b,c)=(2,-12,1),(-12,2,1)$$ である．

もう一つの根 ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}=2-\alpha$ を導入し，整数係数の式の共役を取る．$a+5\alpha$ のノルムが整数であることから $a$ を先に決定し，逆元を共役で表して $b,c$ を一度に求める．

2次方程式のもう一つの根を ${\alpha }^{\mathrm{\prime }}$ とする．解と係数の関係より$$\alpha +{\alpha }^{\mathrm{\prime }}=2,\alpha {\alpha }^{\mathrm{\prime }}=-1$$であり，${\alpha }^{\mathrm{\prime }}=2-\alpha$ である．与えられた等式の係数は整数なので，$\sqrt{2}$ の符号を反転した共役の等式$$(a+5{\alpha }^{\mathrm{\prime }})(b+5c{\alpha }^{\mathrm{\prime }})=1\text{も成り立つ．}$$元の等式と共役の等式を掛けると$$(a^2+10a-25)(b^2+10bc-25c^2)=1$$となる．2つの因子は整数だから，それぞれがともに $1$，またはともに $-1$ である．

第1因子が $1$ なら$$(a+5{)}^2=51$$となり整数解はない．第1因子が $-1$ なら$$(a+5{)}^2=49$$であるから$$a=2,-12$$を得る．

このとき$$(a+5\alpha )(a+5{\alpha }^{\mathrm{\prime }})=-1$$なので$${\displaystyle \frac{1}{a+5\alpha }}=-(a+5{\alpha }^{\mathrm{\prime }})$$である．与式から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle b+5c\alpha }& {\displaystyle =-(a+5{\alpha }^{\mathrm{\prime }})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-\{a+5(2-\alpha )\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-a-10+5\alpha }\end{array}$$となる．$\alpha$ は無理数だから係数を比較して$$c=1,b=-a-10$$である．したがって$$(a,b,c)=(2,-12,1),(-12,2,1)$$である．