大阪大学 2008年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $4^2=16\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}15)$ である。したがって$$4^n\equiv \{\begin{array}{ll}4& (n\text{ が奇数}),\\ 1& (n\text{ が偶数})\end{array}(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}15)$$である。よって $4^n-1$ が15の倍数となるのは$$n=2,4,6,\dots$$すなわち $n$ が正の偶数のときである。

(2) (1)より $a_k=2k$ であるから，$x\in A_k$ の条件は$$4^{2k}\leqq x\leqq 4^{2k+2}$$である。ここで$$L=4^{2k}={16}^k,U=4^{2k+2}={16}^{k+1}$$とおく。$16\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ なので $L\equiv U\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ である。したがってこの区間にある最初の3の倍数は $L+2$，最後の3の倍数は $U-1$ である。

これらは公差3の等差数列で，その項数は$${\displaystyle \frac{(U-1)-(L+2)}{3}}+1={\displaystyle \frac{U-L}{3}}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_k}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{U-L}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{(L+2)+(U-1)}{2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(U-L)(U+L+1)}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$$U=16L$ を代入すると$$S_k={\displaystyle \frac{15L(17L+1)}{6}}={\displaystyle \frac{5}{2}}{16}^k(17\cdot {16}^k+1)$$を得る。

(3) $4^{4k}={16}^{2k}$ だから$${\displaystyle \frac{S_k}{4^{4k}}}={\displaystyle \frac{5}{2}}(17+{\displaystyle \frac{1}{{16}^k}})\mathrm{.}$$ここで $1\mathrm{/}{16}^k\to 0$ だから，求める極限は $85\mathrm{/}2$ である。

区間 $[L,U]$ 内の3の倍数は
$L+2,L+5,\dots ,U-1$。